文档介绍：附录:拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种解线性微分方程的简便运算方法。可以将许多普通函数,如正弦函数、阻尼正弦函数和指数函数,转变为复变量s的代数函数。比如微分、积分,可以用复数平面内的代数运算来取代。因此,线性微分方程,可以转变为复变量s的代数方程。
拉氏变换把实域内实变数的函数变换成复域内(或频域内)复变数的函数.
:
f(t)为实变量t的函数,(t<0时,f(t)=0)称为原函数
F(s)为复变量s的函数,称为f(t)的象函数
和都为实数
附录:拉普拉斯变换
由象函数求原函数的运算称为反拉普拉斯变换,
原函数与象函数构成一个拉普拉斯变换对,

下面的几个微积分公式,对拉普拉斯变换的推导,是很有帮助的:
分部积分公式
指数函数:

阶跃函数:
斜坡函数:
正弦函数:

余弦函数:
f(t)与相乘:

若,则

若,则
证明:

如果f(t)的各阶导数初始值都为零:

证明:

终值定理表示了f(t)的稳态值与sF(s)在=0点附近状态值之间的关系。仅当存在时,才能应用该定理。
初值和终值定理使用注意
l 如果sF(s)的所有极点位于左半平面时,则
存在。
l 如果sF(s)有极点位于虚轴或位于右半s平面,f(t)将分别包含震荡的或按指数规律增长的时间函数,则不存在。
l  如果f(t)是正弦函数sinwt, 将有位于虚轴上的点,因此不存在,这类函数不能使用该定理。
l  初值定理和终值定理提供了一种简便的对解答的检查方法,可以在不把s的函数变成时间t的函数的情况下,也能预测系统的时域性能。