文档介绍：边际与偏弹性
最值在经济中的应用
第六节偏导数在经济分析中的应用
一、边际与偏弹性
在一元函数微分学中,我们引入了边际与弹性的概念,
这些概念可以推广到多元函数微分学中.
表示 z = f ( x, y) 在点对 x 的边际.
其含义为: 在点处, 当 y 保持不变, 而x 改变一个单位时, z = f ( x, y) 近似改变个单位.
表示 z = f ( x, y) 在点对 y 的边际.
1. 边际
其含义为: 在点处, 当 x 保持不变, 而y 改变一个单位时, z = f ( x, y) 近似改变个单位.
z = f ( x, y) 对 x 的边际函数
z = f ( x, y) 对 y 的边际函数
本节以生产函数为例来说明边际与偏弹性的概念.
生产函数指的是一定的投入品组合与之所能生产的最大产量Q之间的关系.
设投入品:劳动L和资本K,则生产函数可以用二元函数表示为
一种投入的边际(物质)产量(marginal physical product)是在其它投入固定不变时,多使用一单位这种投入的额外产量. 用数学公式表示,有
资本的边际产量
投入要素的边际产量
劳动的边际产量
例如, 消费者行为: 效用与边际效用
效用函数
其中u为效用量, qx为对物品x 的消费量, qy为对物品y 的消费量.
表示每增加一个单位商品qx 的消费所得到的总效用的增加量.
表示每增加一个单位商品qy 的消费所得到的总效用的增加量.
边际效用是递减的, 随着一个人所消费的某种商品的数量增加, 其总效用虽然递增, 但该物品的标边际效用却是递减的趋势.
2. 弹性
考虑函数的相对偏增量与自变量的相对增量之比:
当时,
称为z = f ( x, y) 在点处对 x 的弹性函数. 记为.
即
同样, z = f ( x, y) 在点处对 x 的弹性函数:
其含义为: 在点处, 当 y 保持不变, 而x 改变1%时, z = f ( x, y) 近似改变.
其含义为: 在点处, 当 x 保持不变, 而y 改变1%时, z = f ( x, y) 近似改变.
产出关于投入要素的偏弹性
产出关于投入要素的偏弹性是产出关于某个投入要素的相对变化率.
产出关于资本的偏弹性
设生产函数
可偏导且
产出关于劳动的偏弹性
设生产函数
求劳动投入的边际产量;
求产出关于劳动投入的偏弹性;
证明:若
,劳动投入的边际产量单调减少.
(注:这个函数称为柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)函数)
解(1) 劳动投入的边际产量为
(2) 在生产函数
两端取自然对数,得
例
于是,劳动投入的边际产量单调减少.
则产出关于劳动投入的偏弹性为
(3) 由得