文档介绍：一、二次型及其矩阵表示
三、正定二次型(重点)
二、化二次型为标准形(重点)
第5,6,7节二次型及其标准形
四、小结
问题的引入
在平面解析几何中,
我们知道标准方程
中
的图形为圆。
的图形为椭圆。
的图形为双曲线。
对于一般二次曲线
的图形是什么?
引例
取
二次曲线
引入坐标变换
代入方程左边,
消交叉项得
则原方程化为
若取
可见,对于一般二次曲线
只要适当选择
作旋转变换
就可将曲线方程化为标准方程
(二次齐次式,只含平方项)
就可以判别二次曲线(1)的图形。
二次曲面也有类似的问题,
标准形式.
下面作一般讨论。
在数学、物理及力学和工程
也有类似的问题,且其变量的个数往往不止两个的二次
齐次式,也可通过适当的线性变换,化为只含平方项的
一. 二次型及其矩阵表示
1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩
、
二次型的矩阵、秩
2. 可逆线性变换

称为二次型。(1)
含有个变量的二次齐次多项式
定义1:
(我们仅讨论实二次型)
实二次型: 为实数。
复二次型: 为复数。
例如:
都是二次型。
不是二次型。
只含有平方项的二次型
称为二次型的标准形。
例如:
都为二次型;
为二次型的标准形。
取
则
则(1)式可以表示为
二次型用和号表示
令
则
其中为对称矩阵。
二次型的矩阵表示(重点)
注
1、对称矩阵A的写法:A一定是方阵。
2、其对角线上的元素
恰好是
的系数。
3、
的系数的一半分给
可保证