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传染病模型建立与结构分析
袁靖淳
(德州学院数学系,山东德州 253023)
摘要:建立传染病的一般数学模型和SIR模型,通过对模型的结构分析,从而及时预防和采取治疗措施,将病情加以控制,使数学建模成为研究传染病流行过程的有效途径之一.
关键词:传染病模型;免疫者;感染者
1 引言
,,医疗水平的提高以及人类文明的不断发展,诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制,但是一些新的、,至今仍在蔓延;2003年春,来历不明的SARS病毒突袭人间,给人们的生命财产带来极大的危害,长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,分析受感染人数、传染病人数、免疫者人数的变化规律,探索制止传染病蔓延的手段等,一直都是各国有关专家和官员关注的课题.
随着科学知识的进步,医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病,但是仍然有一些传染病爆发或流行,,传染病流行扔十分严重,即使在发达国家,一些常见的传染病也未绝迹,而新的传染病还会出现,如艾滋病(AIDS)等[1].有些传染病传染很快,导致很高的致残率,,.
本文简单的介绍传染病模型的建立,通过分析给出传染病模型在医学上的应用.
2 传染病一般模型
各种传染病因其特异的流行环节、特征及不同的外界环境,从而它们的预防目标也有很大的差异
.在目前,,措施有效,,促进人类健康,人们期望对目前不易控制的疾病逐步得到控制,在此基础上才能迈向消除,最终才能达到消灭的目标[2].这个过程既是人类美好的理想,也是极其艰巨的历程,要达到这个目标,有赖于科学进步,其中也包括流行病学的进步及有关条件的准备.
传染病模型的假设
由于人体的疾病难以控制和变化莫测,,人们发现传染病传播所涉及的因素很多,例如,传染病人的多少,易受感染者的多少,免疫者(或感染后痊愈者),某种传染病的统计数据进行处理和分析后,人们发现了以下的规律性:
设表示在开始观察传染病之后第天易受感染者的人数,表示在开始观察后第天传染病人的人数,表示在开始观察后第天免疫者(或感染后痊愈者)的人数,那么
(1)
(2)
(3)
其中(1)式表示从第天到第天有的易受感染者得病而离开了易受感染者的人群;(2)式表示在第天的传染病人的人数是第天的传染病人的人数减去痊愈的人数(假设该病的患病期为天,那么将有的传染病人数痊愈),加上新得病的人数.(3)式表示在第天免疫者的人数是第天免疫者的人数加上第天后病人痊愈的人数.
将(1)、(2)与(3)式化简得

(4)
如果已知的值,利用上式可以求得的值,将这组值再代入上式,又可求得的值,这样做下去,我们可以逐个地,,我们把和之间的关系式叫做递推关系式[3-4].
传染病模型的建立
现在假设开始观察时易受感染者,传染病人和免疫者的人数分别为
(5)
将上述数据(5)代入(4)式右边得

(6)
利用递推关系式(4)反复计算得下表
表1 第天易感染者、传染病人和免疫者的人数统计
天数
注:为易感者人数,为传染病人人数,为免疫者人数.
在建立上述数学模型的过程中,如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出,人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素,,抓住主要因素,把问题简化,建立相应的数学模型.
如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后,与传染病传播的情况大致吻合,,可以预测若干天后传染病人的人数等等,便于有关的医疗卫生部门作出相应的决策.
在上述模型中,易受感染者每天的发病率是,,情形更为复杂,它不仅与易受感染者的人数有关,也与传染病人的人数有关,因为传染病人的人数越多,,就必须将由(4),
(7)
其中为在开始观察后第天免疫者(或感染后痊愈者),则
(8)
最后,假设每天发病人数与易受