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浅谈正项级数与交错级数敛散性的
判别方法
摘要: 级数的敛散性在数学分析占有比较重要的版块,判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。数项级数敛散性的判别是一个重要而有趣的数学课题。本文在已有文献的基础上,先对数项级数各种重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳,然后在已有判别方法的基础上推广了几种新的判别方法,这些推广的新的判别法降低了原判别法的使用要求,使其更具一般性,适应性更广。
关键词:正项级数;交错级数;敛散性
On the Positive Series and Alternating Series Criterion for Convergence and Divergence
Abstract: Convergence and Divergence of Series in mathematical analysis plays the more important pages, determine the convergence of series as a series of issues are often the most important issue. Convergence and Divergence of a number of the discriminant is an important and interesting mathematical topics. In this paper, based on the literature, the first of several series of various important Criterion for Convergence and Divergence of a simple system of induction, then discrimination method has been popularized on the basis of several new discrimination method, which promotion of the new Criterion Criterion reduce the use of the original request, to make it more general, wider adaptability.
Keywords: Positive series; Alternating series; Convergence and divergence
1 引言
数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题,最初的问题可以追溯到公元前五世纪,而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国数学家Gregory J(1638--1675)给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究,得到了一系列数项级数的判别法。因而,判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。数项级数敛散性的判别是一个重要而有趣的数学课题,关于级数敛散性的判别尽管已有不少经典性的判别方法,然而对级数敛散性判别的研究至今还在继续与深入,并且获得了一些新的进展与发现。本文将在已有文献的基础上,对数项级数各种重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳,并在已有判别方法的基础上推广几种新的判别方法。
2正项级数敛散性判别
若数项级数
这样的级数称为正项级数,正项级数的敛散性在级数收敛中占有极其重要的地位,常见的收敛方法有比较判别法、达朗贝尔判别法、柯西判别法、积分判别法等,这些判别方法对于判断正项级数的敛散性都很有效,但它们的使用也受一定的条件限制,我们将在一般判别法基础上改进或推广几种新的判别方法。
定理1 正项级数收敛的充要条件是:部分和数列有界,即存在某正数,对一切正整数有。
从应用的角度,要想直接运用正项级数收敛的充要条件去判别某一级数的收敛性又往往是十分困难的,因为所要求的条件都是抽象而非具体的,这就还需要研究针对具体级数的具体判别法。
正项级数的收敛或发散常常可以通过跟另一已知收敛或发散的级数的对比来确定,把这一思想精确表达出来就是比较原则
定理2(比较原则) 设和是两个正项级数,如果存在某正整数,对一切都有
则(i)若级数收敛,则级数也收敛;
(ii)若级数发散,则级数也发散。
例1 考察的收敛性。
解:由于当时,有
因为正项级数收敛,故由定理1,级数也收敛。
在实际应用中,比较原则的下述极限形式通常更为方便。
推论设
(1)
(2)
是两个正项级数,若
则
(i)当时,级数(1)(2)同时收敛或同时发散;
(ii)当且级数(2)收敛时,级