文档介绍：第二讲常数项级数的敛散性
复习上讲教学内容
本讲教学内容
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【教学目的与要求】
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,了解根值判别法;
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4. 理解级数的绝对收敛与条件收敛.
【教学重点与难点】
判别方法的灵活运用•
§ 数项级数的敛散性判别法
一、正项级数收敛的充要条件
若数项级数的各项均非负,,,因此,
,
若有上界,则由“单调有界数列必有极限”知,,若正项级数收敛于,即,则数列必有上界,从而得到如下重要结论:
定理1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有上界.
二、正项级数及其敛散性判别法
1. 比较判别法
定理2(比较判别法) 设和都是正项级数,且
(1)若级数收敛,则级数也收敛;
(2)若级数发散,则级数也发散.
证(1)若级数收敛,其部分和数列有上界,于是有,使
又,,级数收敛.
(2)若发散,则级数必发散,因为若级数收敛,由(1)知,级数也收敛,与假设矛盾,故级数发散.
由于级数每项乘以非零数,以及去掉级数的有限项,所得级数的敛散性与原级数相同,可得如下推论:
推论设,均为正项级数,且从级数的某项起恒有,则
(1)若收敛;则也收敛;
(2)若发散,则也发散.
例1 试证调和级数
发散.
证显然在上满足拉格郎日中值定理条件,所以至少存在一个实数
;使得
,
于是,级数与级数的所有对应项便有
,
由于,
,级数发散;由正项级数比较判别法可知,调和级数是发散的.
例2 讨论—级数的敛散性.
解当时,,所以由比较判别法可知,当时,—级数也是发散的.
当时,
.
又级数是等比级数,且其公比故收敛,于是当时,根据比较判别法的推论可知,级数也收敛.
综上所述,当时,—级数收敛;当时,—级数发散.
应用比较判别法的关键,是把新给的级数与一个敛散性已知的正项级数作比较,常用作比较的正项级数有调和级数、等比级数与—级数.
例3 判别级数的敛散性.
解因为,又时的一级数是收敛的,所以,原级数收敛.
例4 证明级数
收敛.
证满足,而是等比级数,由比较判别法可知,级数收敛.
例5 判定级数的敛散性.
解因,而级数收敛,所以级数收敛.
为使用方便,下面给出比较判别法的极限形式:
定理3 设级数和都是正项级数,且则它们有相同的敛散性.
,存在正整数,当时,有,
即,得.
由比较判别法可知级数,具有相同的敛散性.
例6 判断级数的收敛性.
解一般项,且,而级数
发散,故级数也发散.
由比较判别法可推出另一个常用的判别法.
2. 比值判别法
定理4 (比值判别法) 设是正项级数,若,则
(1)当时,级数收敛;
(2)当时(或)时,级数发散;
(3)当时,级数可能收敛也可能发散.
例7 判断级数的收敛性.
解因为,所以