文档介绍：2010高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
一、函数放缩
:.
解析:先构造函数有,从而
因为
所以
:(1)
解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式: ,
:
解析:提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:,从而,
取有,,
所以有,,…,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有,,
所以有,所以综上有
:和.
解析:构造函数后即可证明
:
解析:,叠加之后就可以得到答案
函数构造形式:(加强命题)
:
解析:构造函数,求导,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14. 已知证明.
解析: ,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)
放缩思路:
。于是,
即
注:题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:
,
即
例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
(I)求证:函数上是增函数;
(II)当;
(III)已知不等式时恒成立,
求证:
解析:(I),所以函数上是增函数
(II)因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
(3)
……
相加后可以得到:
所以令,有
所以
(方法二)
所以
又,所以
例16.(2008年福州市质检)已知函数若
解析:设函数
∴函数)上单调递增,在上单调递减.
∴的最小值为,即总有
而
即
令则
二、裂项放缩
例1.(1)求的值; (2)求证:.
解析:(1)因为,所以
(2)因为,所以
奇巧积累:(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
(2)求证:
(3)求证:
(4) 求证:
解析:(1)因为,所以
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以
:
解析:一方面:因为,所以
另一方面:
当时,,当时,,
当时,,所以综上有
例4.(2008年全国一卷) ..设,:.
解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则
,否则若,则由知
,,因为,
于是
,求证: .
解析:首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,即等价于
,即等价于
而正是成立的,所以原命题成立.
,,求证:.
解析:
所以
从而
,,求证:
证明: ,因为
,所以
所以
三、分式放缩
姐妹不等式:和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19. 姐妹不等式:和
也可以表示成为
和
解析: 利用假分数的一个性质可得
即
:
解析: 运用两次次分式放缩:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:
所以有
四、迭代放缩
例25. 已知,求证:当时,
解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论
例26. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k-Sn|<
解析:
又所以
五、分类放缩
:
解析:
例22.(2004年全面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线(≥0)上的点列满足,,.
(1)证明>>4,; (2)证明有,使得对都有<.
解析:(1) 依题设有:,由得:
,又直线在轴上的截距为满足
显然,对于,有
(2)证明:设,则