文档介绍：第二十讲 因式分解(二)

分解二次三项式时,(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.
例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-,并把y当作常数,于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为

即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以
原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
上述因式分解的过程,,可得到下图:

它表示的是下面三个关系式:
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.
这就是所谓的双十字相乘法.
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.
例1 分解因式:
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;
(2)x2-y2+5x+3y+4;
(3)xy+y2+x-y-2;
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.
解(1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1).
(2)

原式=(x+y+1)(x-y+4).
(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.

原式=(y+1)(x+y-2).
(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).
说明(4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.

我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如
f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,
当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)(x)
f(1)=12-3×1+2=0;
f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.
若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.
根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.
定理2若既约分数是整系数多项式
的根,则必有p是a0的约数,q是an的约