文档介绍：一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练
安徽省利辛县教育局督导室夏飞
对于一元二次方程,当判别式△=时,其求根公式为:;若两根为,当△≥0时,则两根的关系为:;,根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆定理也是成立的,即当,时,那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛,在中学数学中占有极重要的地位,也是数学学习中的重点。学习中,老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外,还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况,以及应用求根公式求出方程的两个根,进而分解因式,即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析,希望能给同学们带来小小的帮助。
 
一、根据判别式,讨论一元二次方程的根。
 
例1:已知关于的方程(1)有两个不相等的实数根,且关于的方程(2)没有实数根,问取什么整数时,方程(1)有整数解?
 
分析:在同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
 
   解:∵方程(1)有两个不相等的实数根,
 
        ∴
 
          解得;
 
        ∵方程(2)没有实数根,
 
        ∴
 
          解得;
 
       于是,同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围是
 
       其中,的整数值有或
 
       当时,方程(1)为,无整数根;
 
       当时,方程(1)为,有整数根。
 
解得:
 
       所以,使方程(1)有整数根的的整数值是。
 
说明:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础,正确确定的取值范围,并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理,从而筛选出,这也正是解答本题的基本技巧。
 
二、判别一元二次方程两根的符号。
 
例1:不解方程,判别方程两根的符号。
分析:对于来说,往往二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式△,但△只能用于判定根的存在与否,若判定根的正负,则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是:既要求出判别式的值,又要确定或的正负情况。
 
解:∵,∴△=—4×2×(—7)=65>0
 
∴方程有两个不相等的实数根。
 
设方程的两个根为,
 
∵<0
 
∴原方程有两个异号的实数根。
 
说明:判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定,另外由于本题中<0,所以可判定方程的根为一正一负;倘若>0,仍需考虑的正负,方可判别方程是两个正根还是两个负根。
 
三、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。
 
 
例2:已知方程的一个根为2,求另一个根及的值。
 
分析:此题通常有两种解法:一是根据方程根的定义,把代入原方程,先求出的值,再通过解方程办法求出另一个根;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
 
解法一:把代入原方程,得:
 
 
 
即
 
解得
 
当时,原方程均可化为:
 
,
 
解得:
 
∴方程的另一个根为4,的值为3或—1。
 
解法二:设方程的另一个根为,
 
根据题意,利用韦达定理得:
 
,
 
∵,∴把代入,可得:
 
∴把代入,可得:
 
,
 
即
 
解得
 
∴方程的另一个根为4,的值为3或—1。
 
说明:比较起来,解法二应用了韦达定理,解答起来较为简单。
 
例3:已知方程有两个实数根,且两个根的平方和比两根的积大21,求的值。
 
分析:本题若利用转化的思想,将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程,即可求得的值。
 
解:∵方程有两个实数根,
∴△
 
解这个不等式,得≤0
设方程两根为
则,
 
∵
 
∴
 
∴
 
整理得:
 
解得:
 
又∵,∴
 
说明:当求出后,还需注意隐含条件,应舍去不合题意的。
 
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
 
例5:已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根,问和能否同号?若能同号,请求出相应的的取值范围;若不能同号,请说明理由,
 
解:因为关于