文档介绍：第卷第期经济数学
年月
离散随机序在复合二项破产模型中的应用
李明明成世学
中国人民大学信息学院,北京,
摘要本文的内容由三部分组成首先,在简述复合二项破产模型近期已得的相关成果的基拙上,给出了
录终破产帆率的复合几柯分布表示接着,在概迷了离散随机优序与停止根失序的主要结果后,首次提出了幕
序的机念最后,借助上述离散随机序,在复合二项破产模型中探讨了个体索赔顺对于最终破产概率与调节系
数的影响
关健词随机优序,停止损失序,幕序,复合二项破产模型,破产概率,调节系数
引论
破产论是保险数学中最为活跃的研究课题之一,以往偏重于连续时间的复合破
产模型的研究,近期也有不少文献探讨了离散时间的复合二项破产模型,详见〕一〕保险
数学中另一活跃的研究课题是风险排序与等发表的专著〕与〔〕系统地介
绍了随机序在精算领域中的应用这样,沟通这两个研究课题便是一个有兴趣的内容
本文第二节在简要介绍了文献【」的若干结论后,给出了复合二项破产模型的一个新的研
究结果,即最终破产概率可表为一个复合几何分布,它可视为复合破产模型中关于最
终破产概率的卷积公式的离散版本此外,受这一表述的启示,此节首次引入了离散
分布的求和变换分布的概念
本文第三节概述了离散随机优序与停止损失序的主要结果特别地,鉴于研究复合二项破
产模型的需要,探索了离散分布间的停止损失序与相应的求和变换分布间的随机优序之间的
联系此外,还提出了一类新的随机序,即幂序,并讨论了它和停止损失序之间的关系
最后,在作了上述铺垫后,本文在第四节分别探讨了个体索赔额依停止损失序与幂序的排
序对于最终破产概率与调节系数的影响这些结果可视为复合破产模型中相应结果
的离散版本
复合二项破产模型
取定一个时间单位后,保险公司在第个时间单位的末端以下简称为时刻的盈余由
下式给出
国家自然科学基金资助项目
收稿日期一一
一一经济数学第卷
。一一艺儿一。,,,⋯
其中取非负整数值,称为初始盈余鉴于假定保险公司在每一单位时间区间的始端征收一个
钱币单位的保费,则表示至第个时间单位区间的始端保险公司已征收的累积保费额此
外,表示至时间已理赔次数,约定服从以与为参数的二项分布又
假定个体索赔额序列,为独立同分布且仅取正整数值的随机变量序列,并与索赔计
数序列。,相互独立这样。全艺便表示至时刻,保险公司已理赔的索赔总
额以下称满足上述约定,且由式给出的盈余序列,》为复合二项破产模型
本节中假定诸。,,与同分布,均称为个体索赔额,并记的分布列与累积分布列
分别为
, 全,
与尸, 二万户,,
再记尹全一,且约定
、
‘︺夕
产、砚月一艺一万户。、
了、
尸叮,
另记鱼, 、口产
万户
并称为原离散分布的求和变换分布它的概率含义可由下述命题
解释
除了上述假定外,复合二项破产模型中另有两个重要假设其一是假定,产,
这表明保险公司在收取保费时考虑了安全负载,故称这一假定为安全负载假定
复合二项破产模型中另一重要假定是调节系数存在性假定
记六全君〔邢」二
其中皇一,为个体索赔额的母函数,即
犷会〔〕一艺””·
”
不难验证下述方程
必二二二
在,上至多有两个解再因是一平凡解,故当假定方程存在两个解时,在安全负
载假定下,可推知必存在唯一的大于的正解,并称之为复合二项破产模型的调节系数以下
恒假定这一调节系数是存在的关于上述方程解的说明与图示,可参看本文第节中定理的
证明与图。此外,尚可证调节系数满足下述关系式
户艺万一
关于式的证明可参见〕现记
要, , 笋
并称为破产时刻,而称
第期李明明成世学离散随机序在复合二项破产模型中的应用一一
少些尸。今
为初始盈余等于时的最终破产概率
文献〔〕在初始盈余为零时,导出了下述两个量的确切解
,。一粤产一
尸一。卫又几十,
丈二下
此外,对于任意的初始盈余值,「」中借助调节系数给出了型不等式
少毛一, ,,⋯
上式显示调节系数在复合二项破产模型研究中所起的重要作用,以下将推导复合二项
破产模型的若干新的结果首先,下述命题给出了个体索赔额分布的求和变换分布弋》
的概率含义
命题尸一川。, ,
证明首先,因模型中恒假定二尸,故户这样,由式知
艺几一“一
于是,由和两式即知
‘
尸。少—戈产—工卫又几
艾泣下
其次,由式可推知
尸,一。立丫几
二浑
这样,由与两式可得
尸一。,
万万
,一。
尸。艺
于是,由上式和式即知