文档介绍：:..关于一道硕士研究生的入学试题的推广江飞芾田学院数学系01级数学与应用数学专业福建芾田351100关键词:特征根,共轨特征根,矩阵的迹。摘耍:2004年的漳州师范学院硕士研究牛入学髙等代数试卷中有-•道关于实对称阵的迹的不等式的试题,本文证明了这个不等式对一般的实矩阵也成立的,同时给出了其等号成立的充要条件。中图分类号:”表示所有的巾阶实矩阵的集合;Ak(A)=ak+bki(i2=-\,sSwR,k=l,2,…“)为实矩阵A的所有特征根;若特征根不是实数就称为非实的特征根;记S(A),UM),Z(幻分别表示A的所有实部为正的特征根之和,所有实部为负的特征根之和以及所有实部为零的特征根之和。记S\A)=(5(A))2o漳州师范学院2004年硕士研究生入学的高等代数试题(第九题)(为讨论方便称为命题),如卜:命题设4是个n阶实对称方阵,77(A)是4的迹(即A的主对角线上所有元素之和),S(A)是4的所有正特征根之和。证明:2S2(A)>Tr(A2)+(2S(A)-Tr(A))Tr(A) (1)并且等号成立,当且仅当①人是零矩阵,或②人相似于对角矩阵d7dg(a,0,0…0)心0,或③A合同于对角矩阵〃边(1,-1,0・・・0)。”这是近几年高等代数考研题中比较新颖的题目,木文将推广这个命题。2预备知识首先先证明以卜•三个引理:引理1AwR'网,则有复可逆阵P满足‘人⑷ *、P'AP= ••・ (2)<0 4(A),上述等式的右边矩阵为“上三角形”矩阵,主对角线以下的元素都是零。(见文[1])引理2设AgRnxn,则:£琦芈=0(其中“为非负整数,®为奇整数)。Jt=l证明:实矩阵的特征多项式是实系数多项式,故力的非实的特征根必是成共轨出现的,并月•非实的特征根的个数为偶数。不失一般性,对A的所冇特征根进行如下编号:记4的所冇实特征根为:九(A)=氐+bki,bk=0,k=1,…,加,贝\\n-m必是偶数。记A的一切非实的特征根为:⑷=^m+k+^m+kAn-m.(A}=dn-m.+bn-m, +A、z m+ 4-4 ?w+ -2其中a,仆=am+n^L+kbn+k=—化+号+r从而知:…屮爲"b叫m+ +k2n-mn-mn~m这样:m十——+k2n m 2k=\k^\k=\n-mn-m"一加 ”一加二気爲隔+気爲(-验)=()k=\ k=\即:£&冷=o(其屮"为非负整数®为奇整数)。k=\工=0ok=\推论1:设AeRnxn,则:引理3:设AeRnxn,记4所有的实部为正的特征根为:%(A)=Qpj+bpji,ap>0,j=r,所有实部为负的特征根为:入q(A)=Clq)+bqJ,Cig,<0,j=h…,t,所有实部为零的特征根为:2%(A)=©+b”i,d”=0,丿=1,…,s,(其中:Pj,qj,h「为不大于的斤自然数,u为不大于斤的自然数,r+s+fm),m:S⑷話他,附)茫厲,Z⑷=0Tr(A)=S(A)+L(A)=Xap+工。 ⑸j=\J>1力证明:A的实部为」I•:的特征根可分为实部为」I•:的实特征根和实部为」I•:的非实的特征根这互不相交的两个类,注意到非实的特征根是成共辄出现的,因此不失一般性,对其进行如下编号