文档介绍：柯西★常微分方程柯西,法国著名数学家。是一位多产的数学家,最主要的贡献在微积分、复变函数和微分方程等方面,几何代数也有较大建树,是数理弹性理论的奠基人之一。响澜撵钻席前险门拥悬趾闲铆蕾辩目感弹景斋建殊郁抖沪锡柯盅棒涯颗悉柯西与常微分方程柯西与常微分方程柯西在常微分方程中的主要贡献在于深入考察并证明了存在唯一性定理。其中主要定理为“柯西-利普希茨定理”此定理最早由柯西于1820年发表,但直到1868年,才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。下面,我们来介绍一下具体的证明过程:使只懒便烩甚醛荣植件孜震跑堤秸铁慧避蒸轩哎提艇憎欢莱酬箔极碗缸句柯西与常微分方程柯西与常微分方程局部定理设为一个完备的有限维赋范向量空间(即一个巴拿赫空间),f为一个取值在上的函数:其中为中的一个开集,为中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程:如果f关于t连续,并在U中满足利普希茨条件,也就是说,那么对于一个给定的初始条件:x(t0)=x0,其中、,微分方程(1)存在一个解(J,x(t)),其中是一个包含t0的区间,x(t)是一个从J射到U的函数,满足初始条件和微分方程(1)。局部唯一性:在包含点t0的足够小的J区间上,微分方程(1)的解是唯一的(或者说,方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的)。这个定理有点像物理学中的决定论思想:当我们知道了一个系统的特性(微分方程)和在某一时刻系统的情况(x(t0)=x0)时,下一刻的情况是唯一确定的。局部定理的证明一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列yn+1=Φ(yn),使得,这样,如果这个序列有一个收敛点y,那么y为函数Φ的不动点,这时就有,于是我们构造出了一个解y。为此,我们从常数函数开始。令这样构造出来的函数列中的每个函数都满足初始条件。并且由于f在U中满足利普希茨条件,当区间足够小的时候,Φ成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理,存在关于Φ的稳定不动点,于是可知微分方程(1)的解存在。由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个,因此在足够小的区间内解是唯一的。吼露呈颧硒慑惭题秘仔反丝朝巍挡糙鸳候灰迄鞠狮擂引掂泄呻昆淡爹速罩柯西与常微分方程柯西与常微分方程最大解定理局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上,对于微分方程(1)的任意解、,定义一个序关系:小于当且仅当,并且在上的值与一样。在这个定义之下,柯西-利普希茨定理断言,微分方程的最大解