文档介绍：2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高一年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)
:= 5 .
,已知,则=____7____.
△ABC所在平面上一点,满足,则△ABP与△ABC的面积之比为.
4.=.
()的实数对的个数为 8 .
(其中),值域为,则符合条件的数组为.
()至少有一个根,就称该方程为合格方程,则合格方程的个数为 23 .
,则实数的取值范围是.
二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)
(1,13),且函数是偶函数.
(1)求的解析式;
(2)函数的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.
解(1)因为函数是偶函数,所以二次函数的对称轴方程为,故. ------------------------------------------4分
又因为二次函数的图象过点(1,13),所以,故.
因此,的解析式为. ------------------------------------------8分
(2)如果函数的图象上存在符合要求的点,设为P,其中为正整数,为自然数,则,从而,即.
------------------------------------------12分
注意到43是质数,且,,所以有解得
因此,函数的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121).
------------------------------------------16分
,关于的方程有一个实根,求的最小值.
解设为方程的实根,则有,即
.
显然. ------------------------------------------5分
容易证明,于是
.
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