文档介绍：第一章函数、极限和连续
§ 函数
一、主要内容
㈠函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
f ( x )  x ∈ D 1 
y = 
:
g ( x )  x ∈ D 2 
: F(x,y)= 0
: y=f(x) → x=φ(y)=f- 1(y)
y=f -1 (x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的;
则它必定存在反函数:
y=f -1(x), D(f- 1 )=Y, Z(f -1)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡函数的几何特性
: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D
当 x1<x2 时,若 f(x1)≤f(x2),
则称 f(x)在 D 内单调增加( );
若 f(x1)≥f(x2),
则称 f(x)在 D 内单调减少( );
若 f(x1)<f(x2),
则称 f(x)在 D 内严格单调增加( );
若 f(x1)>f(x2),
则称 f(x)在 D 内严格单调减少( )。
:D(f)关于原点对称
偶函数:f(-x)=f(x)
奇函数:f(-x)=-f(x)
:
周期函数:f(x+T)=f(x), x∈(-∞,+∞)
周期:T——最小的正数
: |f(x)|≤M , x∈(a,b)
㈢基本初等函数
: y=c , (c 为常数)
: y=xn , (n 为实数)
: y=a x , (a>0、a≠1)
: y=loga x ,(a>0、a≠1)
: y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x
1
y=sec x , y=csc x
:y=arcsin x, y=on x
y=arctan x, y=ot x
㈣复合函数和初等函数
: y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x∈X
:
由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数。
二、例题分析
:
1 
f ( x ) =  2 − x + 2 
⑴  1 − x 
1  2 
解:对于有: 1 − x ≠解得 x ≠±
 1 − x 2    0  :  1 
对于  x + 2 有:  x + 2 ≥0  x ≥-2 
∴  f (x ) 的定义域: x ∈ [− 2,  −1 )  U (− 1,  1)  U (1 ,  +∞)
1 
f ( x ) = 
⑵ ln (2  − x ) 
1 
ln( 2  −x)  ≠ 0 
解:  由 ln (2  − x ) 得: ,解得:  x ≠ 1
由 ln (2  − x ) 得: (2  − x ) >0  ,  x  <2 
∴  f (x ) 的定义域: x ∈ (−∞, 1 ) U (1 ,  2 ) 
例  f(x)的定义域为(­1,1)
则 f(x+1)  的定义域为 
A.(­2,0),    B.(­1,1),    C.(0,2),    D.[0,2]    [  ] 
解:∵­1<x+1<1  ∴  ­2<x<0 
即 f(x+1)  的定义域为: x∈(­2,0)
2
应选 A. 
例  f(x)与 g(x)是相同函数的为 
2 
A.  f ( x ) = x , g( x  ) = ( x ) 
2  g ( x ) =  x 
B.  f (x )  = x  , 
2 
C.  f ( x ) = ln x  ,  g ( x ) = 2 ln x 
g ( x ) = 1 ln  x