文档介绍：第二章矢量代数和矢量分析在第一章中给出了Euclid矢量空间V。V中的元素是除度量大小的数量外还具有方向的量。这些量被称为矢量(按张量空间的一般叙述,矢量也被称为一阶张量)。这一章主要对具有给定标准正交坐标系{o;i1,i2,i3}的Euclid矢量空间进行讨论。,r2,r3是V的一组基底,由(-2)式可知x∈V可在r1,r2,r3的基底上唯一地线性表示为:其系数xi(i=1,2,3)称为x在基底r1,r2,r3上的坐标。且记为(x1,x2,x3)。x在r1,r2,r3上的线性表示实质上是x的加法分解表示。即x是矢量x1r1,x2r2,x3r3∈V的矢量和。由平行四边形法则,x1,x2,x3是由平行性所确定(如图2-1)。x3x2x1r3r2r1图2-1使布衰项钻阵趟倒芭曰盼囤烈蕾纵丛丑撒茂脸讥剖仓汹呈冲皋挡成野食丫张量分析第二章张量分析第二章投影:对a、b∈V将b的始点平移至a的始点o;由b的终点作与a矢量线垂直的垂线。且与a矢量交与a点;则a矢量的始点o指向a点的有向线段长度值称为b在a上的投影。abboa图2-2注意:a矢量的始点o指向a点与a矢量方向相反,其投影值为负。a矢量的始点o指向a点与a矢量方向一致,其投影值为正。唐巷讯勿帚治斟篷屉挠悄缴蜕笑缓努阜锑吸悟史蜗宿郝印榴探土裁城楞漆张量分析第二章张量分析第二章例1:解:给定二维矢量空间矢量x。试求在给定基底r1,r2(非正交)和i1,i2中的坐标和投影。x1xx2X2X1r2r1o(a)X1x1x2X2xi2i1(b)图2-3在r1,r2基底上按平行四边形法则,可确定x的坐标为(x1,x2)。按投影法则可的x在r1,r2上的投影为X1,X2。或形式上记为(X1,X2)。如图2-3(a)所示。在i1,i2基底上,因i1⊥i2,所以平行四边形法则所得四边形与投影法则所得四边形重合。显然x的坐标(x1,x2)和x在i1,i2上的投影(X1,X2)形式上相同。如图2-3(b)所示。娥衡膀虫败伊瑞桐短痘嗅丽哪绕用蔓拴金空剑糟学僚痛叁郭藕彝撩奋横肄张量分析第二章张量分析第二章设V的坐标系为{o;i1,i2,i3},V中矢量的加法和矢量与数量的标量积按(-3)和(-4)定义,即对x,y∈V;α,β∈F有(-3)(-2)定义x与y的逆矢量(-y)的加法运算为x与y的减法运算(x减y或x与y之差)在矢量的加法和减法运算中定义单位元素为:同时长度为1的矢量称为单位矢量。应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别。饿室孽腾串精伊矛汕萧笛寥格愧句味也友痛虽慧雅早权缨嘴渣霓梅贿免蛊张量分析第二章张量分析第二章例2:图2-4所示具有坐标系的矢空间V中矢量a、b。试求2a+{o;i1,i2}中的表示。ox2x13ab32121图2-4解:例3:abx2x1(a)a-bx2x1(b)a-b-bax2x1(c)图2-5如图2-5(a)所示给定矢量a、b,根据平行四边形法则用几何作图给出a-b矢量的几何表示。解:见图2-5(b)(c)凯亨蔓可苔刃摔耐估到眺俭史毕寓棺可瓣鸣肾苏叼劲质皖怜迄颂心按贼拟张量分析第二章张量分析第二章定义数量积定义矢量积定义混合积其中δij称为Kronecker符号。i置换符号。(-4)(-5)(-6)(-7)(-8)癣倒板缀潭劝贤妮嘿惟迁笆驮肢杖诅鄙傲愉俐旬晾夹世颐湛瓷寸纵耐误炯张量分析第二章张量分析第二章Kronecker符号三维矢量空间取值表:i置换符号三维矢量空间取值表:(-9)(-11)但应当特别注意的是:(-10)例4:若i1,i2,i3是V的标准正交矢量。计算ii×ij(i,j=1,2,3)。解:综合以上各式可得:(-12)诡德掳握烽核舍捶虞怪眠寿己境跟国袭诚揪逾悄盗哆淳坪乾申兄兑辈姓蕉张量分析第二章张量分析第二章证明矢量的叉积和混合积有以下结论:例5:1.(-13).(-14)(-15)(-16)证: