文档介绍：--------------------------校验:_____________-----------------------日期:_____________历届全国大学生数学竞赛预赛试卷全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(每小题5分,共20分),,且满足,,其中具有二阶导数,且,、(5分)求极限,、(15分)设函数连续,,且,为常数,、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证:(1);(2).五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,、(10分),,,、(15分)已知满足,且,、(10分)求时,(非数学类)一、(25分,每小题5分)(1)设,其中求(2)求.(3)设,求.(4)设函数有二阶连续导数,,求.(5)、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且,,,且存在一点,:方程在恰有两个实根.(15分)设函数由参数方程所确定,且,其中具有二阶导数,曲线与在出相切,、(15分)设,证明:(1)当时,级数收敛;(2)当且时,、(15分)设是过原点、方向为,(其中的直线,均匀椭球(其中,密度为1)绕旋转.(1)求其转动惯量;(2)、(15分)设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积分的值为常数.(1)设为正向闭曲线,证明;(2)求函数;(3)设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,(非数学类)一、计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)(1)求;(2).求;(3)已知,、(本题10分)、(本题15分)设函数在的某邻域内具有二阶连续导数,且均不为0,证明:存在唯一一组实数,、(本题17分)设,其中,,为与的交线,、(本题16分)已知是空间曲线绕轴旋转形成的椭球面的上半部分()(取上侧),是在点处的切平面,是原点到切平面的距离,:(1);(2)六、(本题12分)设是在内的可微函数,且,其中,任取实数,定义,证明:、(本题15分)是否存在区间上的连续可微函数,满足,,?(非数学类)一、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)解答下列各题(要求写出重要步骤).(1)求极限.(2)求通过直线的两个互相垂直的平面和,使其中一个平面过点.(3)已知函数,,使函数满足方程.(4)设函数连续可微,,且在右半平面与路径无关,求.(5)、(本题10分)、(本题10分)求方程四、(本题12分)设函数二阶可导,且,,,求,、(本题12分)求最小实数,、(本题12分)设为连续函数,.,、(本题14分)设与为正项级数,证明:(1)若,则级数收敛;(2)若,且级数发散,(非数学类)一、解答下列各题(每小题6分,共24分,要求写出重要步骤),,使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为,、(满分12分)、(满分12分)设在处存在二阶导数,:、(满分12分)设,、(满分14分)设是一个光滑封闭曲面,,使积分的值最小,、(满分14分)设,其中为常数,曲线为椭圆,、(满分14分)判断级数的敛散性,若收敛,(非数学类)一、填空题(共有5小题,每题6分,共30分),.