文档介绍：第15讲

标准正态分布的正交变换
n
假设 XXN1,,… n ~( 0,1),V 是 n 维空间 R 的正交变换矩阵,矢量

YXVY==(1,,… Yn ).。试问:YY1,,… n 的联合分布是什么?很显然,每一个Yi 都服从标准
正态分布且相互之间不相关。现验证这一点。首先,
n

YvXiki= ∑ k
k =1
每个Yi 是关于正态分布独立变量的和,又因为矩阵V 是正交的且其每列的矢量单度是 1,因
n
此服从均值为 0 方差为 2 的正态分布。即每个。这个序列
Yi Var() Yi= ∑ vik = 1 YNi ~0,1()
k =1
中的任何两个Yi 和Yj 都是不相关的,这是因为:
n
''
Ε=YYij∑ v ikjk v = v ij v =0
k =1

''
其中:列vvi⊥ j ,是相互正交的。
一般来说,不相关并不意味着独立,但是它对正态分布却是个例外。设Y 服从标准正态

分布,即Y 和 X 具有相同的分布。再进一步讨论。给定一矢量 tt= ( 1,,… tn ) ,关于 X1,,… X n
的矩母函数可以通过下式计算:
n

T
ϕ()te=ΕXt =Ε etX11++… tnn X =∏ΕetXii
i = 1
2
n t i 11n 2 2
∑ tti
==∏ ee22i = 1 = e2.
i = 1

另外,因为Y= XV,并且
⎛⎞t
1
⎜⎟ TT
t Y++……
… t Y = Y,, Y= Y ,, Y t = XVt
11 nn ()()1 n ⎜⎟ 1 n
⎜⎟
⎝⎠tn
则关于YY1,,… n 的矩母函数可以表示为:

T T
tY++… t Y XVtT XtV()
Ε=Ε=Εeee11 n .
可以看出,上式是矢量 X 关于tV T 的特征函数,又因为正交变换时保持矢量长度不变,有
tVT = t . ,所以上式等同于:
112
tVT t 2
ϕ()tVT == e22 e

可以说明Y 的矩母函数与 X 的矩母函数一致,即YY1,,… n 与 X 具有相同的联合分布,且都
服从标准正态分布。
2
现在转向中所提出的问题: X (样本均值)和 X 2 −( X ) (样本方差)的分布情
况。
2
定理:如果服从标准正态分布,则样本均值和样本方差 2 独立,
X1,,… X n X X −()X
2
nX~0,1 N 且 nX22− X ~ χ
() ( ()) n−1
2
即 nX 服从标准正态分布, nX2 − X 服从自由度为 n −1 的开方分布χ 2 。
( ()) ( ) n−1

证明:在变换中存在一矢量Y 满足:
⎛⎞1

⎜⎟n

⎜⎟
YY===()(11,……
, Ynn XVX, , X )⎜⎟
?
.
⎜⎟
⎜⎟1
⎜⎟
⎝⎠n
选取矩阵V 中的第一列,使其等于:

⎛