相似矩阵的理论.doc

文档介绍：第三节相似矩阵的理论定义7设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵,-1AP称为对A进行相似变换,,则A与B的特征多项式相同,,则P-1AP=B,P为可逆方阵. det(lE-B)=det(P-1(lE)P-P-1AP) =det(P-1(lE-A)P) =det(P-1)det(lE-A)det(P)=det(lE-A).推论若n阶方阵A与对角矩阵相似,则l1,l2,×××,(lE-Λ)=利用相似矩阵,我们可以快速计算矩阵多项式f(A),方法如下:若A=PBP-1,则Ak=PBkP-1,f(A)=Pf(B)P-1若P-1AP=Λ,即A=PΛP-1,则Ak=PΛkP-1,f(A)=Pf(Λ)P-1其中即若P-1AP=Λ,则因此,若求f(A),关键是找可逆矩阵P,而找出P的依据是:P-1AP=,使P-1AP=Λ为对角阵,=[p1,p2,×××,pn]由P-1AP=L,得AP=PL,即=[l1p1,l2p2,×××,lnpn]也就是Api=lipi (i=1,2,×××,n)求可逆方阵P的关键问题有两个:(1)P的结构是什么?由上式可知,P的列向量是A的特征向量.(2)Λ是什么样的对角阵?由上式可知,Λ的对角线上的元素,:这里的方阵P可逆吗?我们知道:(1)如果n阶方阵的n个列向量线性无关,则n阶方阵可逆;(2)如果n个列向量是一个正交向量组,则此向量组线性无关;(3)如果对应的特征值l1,l2,×××,ln各不相同,(即A能对角化),则A与对角矩阵相似.