文档介绍：习题三
,以X表示在三次中出现正面的次数,.
【解】X和Y的联合分布律如表:
X
Y
0
1
2
3
1
0
0
3
0
0
、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,.
【解】X和Y的联合分布律如表:
X
Y
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
P(0黑,2红,2白)=
0
(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)=
求二维随机变量(X,Y)在长方形域内的概率.
【解】如图
题3图
说明:也可先求出密度函数,再求概率。
(X,Y)的分布密度
f(x,y)=
求:(1) 常数A;
(2) 随机变量(X,Y)的分布函数;
(3) P{0≤X<1,0≤Y<2}.
【解】(1) 由
得 A=12
(2) 由定义,有
(3)
(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
(1) 确定常数k;
(2) 求P{X<1,Y<3};
(3) 求P{X<};
(4) 求P{X+Y≤4}.
【解】(1) 由性质有
故
(2)
(3)
(4)
题5图
,X在(0,)上服从均匀分布,Y的密度函数为
fY(y)=
求:(1) X与Y的联合分布密度;(2) P{Y≤X}.
题6图
【解】(1) 因X在(0,)上服从均匀分布,所以X的密度函数为
而
所以
(2)
(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)=
求(X,Y)的联合分布密度.
【解】
(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
求边缘概率密度.
【解】
题8图题9图
(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
求边缘概率密度.
【解】
题10图
(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
(1) 试确定常数c;
(2) 求边缘概率密度.
【解】(1)
得.
(2)
(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).
题11图
【解】
所以
,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.
(1) 求X与Y的联合概率分布;
(2) X与Y是否相互独立?
【解】(1) X与Y的联合分布律如下表
Y
X
3
4
5
1
2
0
3
0
0
(2) 因
故X与Y不独立
(X,Y)的联合分布律为
X
Y
2 5 8
(1)求关于X和关于Y的边缘分布;
(2) X与Y是否相互独立?
【解】(1)X和Y的边缘分布如下表
X
Y
2
5
8
P{Y=yi}
(2) 因
故X与Y不独立.
,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为
fY(y)=
(1)求X和Y的联合概率密度;
(2) 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.
【解】(1) 因
故
题14图
(2) 方程有实根的条件是
故 X2≥Y,
从而方程有实根的概率为:
(以小时计),并设X和Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为
f(x)=
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数
(1) 当z≤0时,
(2) 当0<z<1时,(这时当x=1000时,y=)(如图a)
题15图
(3) 当z≥1时,(这时当y=103时,x=103z)(如图b)
即
故
(以小时计)近似地服从N(160,202) 只,求其中没有一只寿命小于180h的概率.
【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),则Xi~N(160,202),
从而