文档介绍：概率论数字特征与特征函数
2、袋中有k号的球k只,,从中摸出一球,求所得号码的数学期望。
3、随机变量取非负整数值的概率为,已知,试决定A与B。
7、袋中有n张卡片,记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k张卡片来,求所得号码之和的数学期望及方差。
9、试证:若取非负整数值的随机变量的数学期望存在,则。
11、若随机变量服从拉普拉斯分布,其密度函数为。试求,。
13、若相互独立,均服从,试证。
17、甲袋中有只白球只黑球,乙袋中装有只白球只黑球,现从甲袋中摸出只球放入乙袋中,求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。
20、现有n个袋子,各装有只白球只黑球,先从第一个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第二个袋子中,再从第二个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第三个袋子中,照这样办法依次摸下去,最后从第n个袋子中摸出一球并记下颜色,若在这n次摸球中所摸得的白球总数为,求。
21、在物理实验中,为测量某物体的重量,通常要重复测量多次,最后再把测量记录的平均值作为该体质重量,试说明这样做的道理。
24、若的密度函数是偶函数,且,试证与不相关,但它们不相互独立。
25、若的密度函数为,试证:与不相关,但它们不独立。
27、若与都是只能取两个值的随机变量,试证如果它们不相关,则独立。
26、若,试证的相关系数等于的相关系数。
28、若是三个随机变量,试讨论(1)两两不相关;
(2);(3)之间的关系。
29、若服从二元正态分布,。证明:与的相关系数,其中。
30、设服从二元正态分布,,试证:。
31、设与独立,具有相同分布,试求与的相关系数。
34、若服从,试求。
39、若及分别记二进制信道的输入及输出,已知,,试求输出中含有输入的信息量。
40、在12只金属球中混有一只假球,并且不知道它比真球轻还是重,用没有砝码的天平来称这些球,试问至少需要称多少次才能查出这个假球,并确定它比真球轻或重。
41、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。
43、在贝努里试验中,若试验次数是随机变量,试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要条件,是服从普阿松分布。
44、设是一串独立的整值随机变量序列,具有相同概率分布,考虑和,其中是随机变量,它与相互独立,试用(1)母函数法,(2)直接计算证明
。
47、若分布函数成立,则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件,是它的特征函数是实的偶函数。
48、试求均匀分布的特征函数。
49、一般柯西分布的密度函数为。证它的特征函数为,利用这个结果证明柯西分布的再生性。
50、若随机变量服从柯西分布,,而,试证关于特征函数成立着,但是与并不独立。
53、求证:对于任何实值特征函数,以下两个不等式成立:
。
54、求证:如果是相应于分布函数的特征函数,则对于任何值恒成立:
。
55、随机变量的特征函数为,且它的阶矩存在,令,称为随机变量的k阶半不变量,试证(是常数)的阶半不变量等于。
56、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。
58、设相互独立,具有相同分布试求的分布,并写出它的数学期望及协方差阵,再求的分布密度。
59、若服从二元正态分布,其中,试找出矩阵,使,且要求服从非退化的正态分布,并求的密度函数。
60、证明:在正交变换下,多元正态分布的独立、同方差性不变。
第四章解答
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2、解:设表取一球的号码数。袋中球的总数为,所以
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3、解:由于是分布,所以应有,即。又由已知,即,, 。
7、解:设表示抽出k张卡片的号码和,表示第i次抽到卡片的号码,则,因为是放回抽取,所以诸独立。由此得,对。
,
;
,
,
。
8.
9、证:
10.
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11、解:
.
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13、证:的联合密度为,
∴
(利用密度函数的积分值为1,减a再加a)
(在前一积分中交换积分次序,在后一积分中交换x与y的记号)
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17、解:令B表“从乙袋摸一球为白球”,表从甲袋所摸个球中白球数,则取值,服从超几何分布,且,考虑到若,则当时;若,则当时;而在条件概率定义中要求由此得
.
20、解:令,则
,
。
由此类推得, 。又,
。
21、解:以表第i次测量值,由于受测量过程中许多随机因素的影响,测量值和物体真实重量
之间有偏差,是独立同分布的随机变量,并有。测量记录的平均值记为,则
, 。
平均值的均值仍为,但方差只有方差的,而方差是描述随机变量对于其数学期望的离散程度,所以以作为物体的重量,则更近于真值。
24、证:设是的密度函数,则。由是奇函数可得,从而。又由于是奇函数,得
故与不相关。
由于的密度函数是偶函数,故可选使,亦有,
其中等式成