文档介绍：西北大学数学系
概率论考试复习知识要点
一概念:
1随机事件:用等表示
互不相容:
互逆: 且,此时,
互逆互不相容,反之不行
相互独立: 或
2 随机事件的运算律:
(1) 交换律:
(2) 结合律:
(3) 分配律:
(4 ) De Morgen 律(对偶律)
推广:
3 随机事件的概率:
有界性
若则
条件概率
4 随机变量: 用大写表示.
若与相互独立的充分必要条件是
若与是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是
若与是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是
若与不相关,则或
独立不相关反之不成立
当与服从正态分布时,则相互独立不相关
二两种概率模型
古典概型: 所包含的基本事件的个数;总的基本事件的个数
伯努利概型: 次独立试验序列中事件恰好发生次的概率
次独立试验序列中事件发生的次数为到之间的概率
次独立试验序列中事件至少发生次的概率
特别的,至少发生一次的概率
三概率的计算公式:
加法公式:
若互不相容,则
推广:
若,互不相容,则
乘法公式:或
若相互独立,
推广:
若它们相互独立,则
全概率公式:若为随机事件,互不相容的完备事件组,且
则
注: 常用作为互不相容的完备事件组
有诸多原因可以引发某种结果,而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和,这样的概率问题属于全概问题.
用全概率公式解题的程序:
判断所求解的问题是否为全概率问题
若是全概率类型,正确的假设事件及,要求是互斥的完备事件组
计算出
代入公式计算结果
四一维随机变量:
分布函数:
性质:(1)
若,则
右连续
(4) 即
即( 此性质常用来确定分布函数中的常数)
利用分布函数计算概率:
一维离散随机变量:
概率函数: (分布律)
性质:
(此性质常用来确定概率函数中的常数)
已知概率函数求分布函数
一维连续随机变量:
概率密度
性质:
(1) 非负性
(2)归一性: (常用此性质来确定概率密度中的常数)
分布函数和概率密度的关系:
(注意:当被导函数或被积函数是分段函数时,要分区间讨论,其结果也是分段函数)
利用概率密度求概率
五一维随机变量函数的分布:
离散情形: 列表、整理、合并
连续情形: 分布函数法. 先求的分布函数,再求导
六二维随机变量:
联合分布函数:
性质:
(1) (2)
(3) (4)
(此极限性质常用来确定分布函数中的常数)
边缘分布函数:
二维离散随机变量:
联合概率函数列表
边缘概率函数:
二维连续随机变量: 联合概率密度
性质(1)
(2)(常用此性质来确定概率密度中的常数)
联合分布函数与联合概率密度的关系
(注意:当被导函数或被积函数是分段函数时,要分区间讨论,其结果也是分段函数)
利用联合概率密度求概率
已知联合概率密度求边缘概率密度
(注意:当被积函数是分段函数时,要分区间讨论,其结果也是分段函数)
七随机变量的数字特征:
若为离散随机变量:
若为连续随机变量:
二维情形若为二维连续随机变量,则
若为二维离散随机变量,则
随机变量的函数的数学期望:
若为离散随机变量:
若为连续随机变量
方差:定义
方差的计算公式:
注意这个公式的转化:
关于期望的定理: 关于方差的定理
(1) (1)
(2) (2)
(3) 相互独立:
(注意:反之不成立)
相互独立
(注意:反之不成立)
八要熟记的常用分布及其数字特征:
分布
二项分布
泊松分布
均匀分布:
指数分布:
正态分布:
特别地()
九正态随机变量线性函数的分布
十统计部分:
统计量无偏性有效性
矩估计最大似然估计区间估计假设检验
例: 甲袋中有5只红球10只白球,乙袋中有8只红球6只白球,现先从甲袋中任取一球放入乙袋,然后又从乙袋中任取一球放入甲袋. 求这一个来回后甲袋中红球数不变的概率.
解: 设:从甲袋中取出放入乙袋的是红球,:从乙袋中返还甲袋的是红球,: 这一个来回后甲袋中红球数不变,则
从而
.
例高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立),设每发炮弹击中敌机的概率均为,又若敌机中一弹,其坠落的概率为,若敌机中两弹,其坠落的概率为,若敌机中三弹,则必然坠落。求敌机被击落的概率。
解: 设事件表示敌机被击落,事件表示敌机中弹。
则
所以,