文档介绍：概率论第三节协方差及相关系数协方差相关系数概率论量E{ [X-E(X)][Y-E(Y)] }称为随机变量X和Y的协方差, 记为cov(X,Y) , 即:(4) cov(X1+X2, Y) = cov(X1, Y) + cov(X2, Y) (1) cov(X, Y) = cov(Y, X)一、协方差(covariance)2. 简单性质:(2) cov(aX, bY) = abcov(X, Y), a, b 是常数cov(X,Y)=E{ [X-E(X)][Y-E(Y)] }1. 定义:(3) cov(C, X) = 0, C 是常数概率论cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见, 若X 与Y 独立, 则cov(X, Y) = . 计算协方差的一个简单公式cov(X, Y)=E{ [X-E(X)][Y-E(Y)] }=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)即:特别地:2 2cov( , ) ( ) ( ) ( )X X E X E X D X? ??4. 随机变量和的方差与协方差的关系D(X±Y)= D(X)+D(Y) ± 2cov(X,Y)概率论二、相关系数(correlation)为随机变量X 和Y . 定义:设D(X)>0, D(Y)>0, 称:cov( , )( ) ( )XYX YD X D Y??在不致引起混淆时, 和Y 相互间的关系, 但它还受X 与Y 本身度量单位的影响. 例如:cov(kX, kY)=k2cov(X, Y)为了克服这一缺点, 对协方差进行标准化, 这就引入了相关系数.*( )( )X E XX XD X??注:若记,称为的标准化随机变量,易知:E(X*)=0, D(X*)=1;cov( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )?XYX Y X E X Y E YED X D Y D X D Y?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?且: E(Y*)=0, D(Y*)=1;* * * *cov( , ) ( ).X Y E X Y? ?(标准协方差)概率论2. 相关系数的性质:1) | | 1??2) X 和Y 独立时, ρ=0(此时称X 和Y不相关), :由于当X 和Y 独立时, cov(X,Y)= ( , )0( ) ( )X YD X D Y?? ?故: 但由ρ=0 并不一定能推出X 和Y 与Y 独立, 则X 与Y 与Y 不相关, 不一定能推出X 与Y , X的密度函数:1 11( )2 20xf x?? ???????其它,( ) 0E X?可得:1212( ) ( cos ) cos ( ) 0E XY E X X x xf x dx?? ? ??cov( , ) ( ) ( ) ( ) Y E XY E X E Y? ? ?反例:设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布, 而Y=cosX,不难求得: cov(X,Y)=0,因而ρ=0, 与X 有严格的函数关系,即X 和Y ) 1??存在常数a, b(b≠0),使P{ Y=aX+b}=1,即:X 和Y 以概率1 和Y 间“线性相关”= 0, Y 与X 无线性关系;可见, 若ρ= ±1,Y 与X 有严格线性关系;若0 < |ρ| < 1,|ρ|的值越接近于1, Y 与X的线性相关程度越高;|ρ|的值越接近于0, Y 与X的线性相关程度越弱.(称X 和Y完全相关)(称X 和Y不相关)概率论三、原点矩中心矩1. 定义:设X 和Y 是随机变量, ??, 1, 2,?kE X k?若存在,称它为X 的k 阶原点矩,简称k 阶矩;??[ ( )] , 2,3,?kE X E X k? ?若存在,称它为X 的k , 均值E(X)是X 的一阶原点矩, 方差D(X)是X的二阶中心矩。(k-th raw moment)(k-th central moment)概率论可见,协方差cov(X