文档介绍：§(甲)内容要点•、= xelx为口变暈,y为因变量或称为函数值/:x->y为对应关系门变量在定义域里而取值的吋候,所有的函数值的全体就称为值域。口诀(1):函数概念五要素;对应关系最核心。例1:(考研中用得很多)3x+l,x>例2:.Yx,x>0-x,x<0x2,x<0例3:max(x,x2,x3)=*x,0<x<1x3,X>1口诀(2):分段函数分段点;左右运算要先行。:y=F的反函数x=±J7由于不单值,所以要看作x=G和x=_®它们的图像与y=x2~^如果改变符号,写成y=J7和y=_長,那么它们的图像要变。=0确定y与x的函数关系有些隐函数能化为显函数,例:x2+y2=1,y=J1-F和yji—/。另外有些隐函数则不能化为显函数。例:ev+v+sin(3x-2y)+5=0二、基本初等函数的概念、性质和图像(内容白己复习参考书,这里仅举例说明其重要性)例1:考察limarctanxX—>-HX>(•YT-8)y=arctanx的图像乙指数函数『=护的图像因此lime"=0x—>0三、复合函数与初等函数复合函数(i)已知门兀),g(x),求f[g(x)](ii)已知/[g(X)],gd),求/(x)初等函数山基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算用-•个表达式表示的函数原则上來说,分段函数不是初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数用极限表示的函数y=limfn(x)“TOOy=limf(t,x)t->x用变上、下限积分表示的函数y=F(x)=ff(f)df其+/(r)连续,则y-=/(x)y=GO)= 其中0(x),02(兀)可导,/(/)连续,则y-=/【02G)b;GO-fki (x)ax口诀(3):变限积分是函数;出现Z后先求导。五、函数的几种性质有界性:(i)定义:设函数y=/(x)在X内有定义,若存在止数M,使xeX都有\f(x]<M,则称于(兀)在X上是有界的。(ii)例:/(%)=丄在(0,1)内无界,在(1/2,1)内有界奇偶性:定义:设区间X关于原点对称,若对xwX,W/(-x)=-/(%),则称/(兀)在X上是奇函数。若对xeX,都fi-y(-x)=/(%),则称/(x)在X上是偶函数。图像对称性:奇函数的图象关于原点对称;偶函数图象关于y轴对称。n 卩当f为奇函数常用公式:ff(x)dx=\r弓丄" [2(f{x)dx当f为偶函数口诀(4):奇偶函数常遇到;对称性质不可忘。单调性:定义:设/(X)在X上有定义,若对任意X]WX,x2eX,Xj<x2都有/(兀Jv/(兀2彷(旺)>于(兀2)]则称于(兀)在X上是单调增加的[单调减少的];若对任意兀]WX,兀2WX,X,<X2都有/(X,)</(X2)[/(%])>『(兀2)]'则称f(X)在X上是单调不减[单调不增](注意:有些书上把这里单调增加称为严格单调增加;把这里单调不减称为单调增加。)判别方法:在(a,b)内,若广(x)>0,则/(兀)单调增加;若广⑴<0,则单调减少。口诀(5):单调增加与减少;先算导数止与负。周期性:定义设/(兀)在X上有定义,如果存在常数TH0,使得任意xgX,x+TeX,都有/(x+?)=/(%),则称/(兀)是周期函数,称T为于(兀)的周期。山此可见,周期函数有无穷多个周期,一•般我们把其中最小正周期称为周期。例:f(x)=sinAr(2>0)周期为T=——;f(x)=sin—+cos—周期为12兀是2 2 34龙和6龙的:tt小公倍数;/(x)=sinOT+sin2x不是周期函数,因为2和兀没有最小公倍数。(乙)典型例题一、定义域与值域3-x',兀v-2[(乙)典型例题(1)前】=f(x)=l5-x-2<x<2的值1-(x-2)2,x>2域,并求它的反函数。解:x<-2,y>3+8=11,x=*3_y,-2<x<2,3<y=5-x<7,x=5-y,x>2,y=1-(x-2)2<1,兀=2+Jl-y,所以y=/(兀)的值域为(-oo,l)U[3,7]U(1l,+oo)2+Jl-y,y<1反函数x=<5-y,3<y<7・V^7,y>ii二、求复合函数有关表达式例I•设心右,求皿E)H)n重复合解:心皿诈保?,JT X1 7= 5l+x21+2/根据数学归纳法可知,对止報数”,九(X)=【(乙)典型例题(1)(咁](e]+ "一兀]+怂2J1+(R+1),)=xe-x,且/(1)=0,求/(x)因此广3)=广(/)=字,>=^ln2r^=—In2xv/(l)=0,f(x)=-\n2x三、有关四种性质【1・1函数(乙)典型例题(2)(后】/=1兀兀5+(屮_严+厶2+]k解: