垂直于一空间曲线的曲线构成的曲面.ppt

文档介绍：垂直于一空间曲线的曲线构成的曲面

本课件讨论如何作出垂直于一空间曲线的曲线,并用这些曲线构成一个曲面。给出了曲面的参数方程,并用数学软件Mathematica绘制了曲面,附有很多例子和图形。
2011年6月编写,2012年4月修改
设 L 是一条空间曲线,在曲线上任意取一点 P,欲作一个以 P 为圆心且垂直于曲线的圆。
如何处理这个问题? 
我们可以以曲线 L 的单位主法矢和单位副法矢在 L 的法平面上建立直角坐标系,以点 P 为原点,然后就象 xOy 面上那样作出圆的矢量方程。
这个方法也适合其他参数曲线,如椭圆、星形线等,包括极坐标曲线(转化为参数曲线即可)。
如果以空间曲线L的参数为第一参数,以圆的参数为第二参数,则我们就得到动圆形成的参数曲面。
可以用数学软件把这种参数曲面的图形作出来。
以曲线Γ上任一点为圆心,作一个圆垂直于Γ。
例1
曲线Γ是半径为a的圆:
以Γ上的点为中心,作半径为b的圆垂直于曲线Γ。
圆环面
作图的Mathematica程序:
a:=4;b:=1;
r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],0}
n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]
m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]
x[s_]:=b*Cos[s];y[s_]:=b*Sin[s];
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-4,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,3},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s]*m[t]+y[s]*n[t],{s,0,2*Pi},{t,0,2*Pi}, Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->{4,2,3}, AspectRatio->.8];
Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]
a:=4;b:=2;
r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],0}
n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]
m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]
x[s_]:=Cos[s];y[s_]:=b*Sin[s];
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-4,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,3},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s]*m[t]+y[s]*n[t],{s,0,2*Pi},{t,0,2*Pi}, Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->{4,2,3},AspectRatio->.8];
Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]
例2
椭圆L绕圆Γ旋转
例3
圆L绕椭圆Γ旋转
a:=4;b:=2;
r[t_]:={a*Cos[t],b*Sin[t],0}
n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]
m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]
x[s_]:=Cos[s];y[s_]:=Sin[s];
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-4,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,3},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Qumian=Paramet