文档介绍：第2章曲面与空间曲线的方程
§ 曲面的方程
一动点移动时,与及平面等距离,求该动点的轨迹方程。
解:设在给定的坐标系下,动点,所求的轨迹为,
则
亦即
由于上述变形为同解变形,从而所求的轨迹方程为
2、在空间,选取适当的坐标系,求下列点的轨迹方程:
(1)到两定点距离之比为常数的点的轨迹;
(2)到两定点的距离之和为常数的点的轨迹;
(3)到两定点的距离之差为常数的点的轨迹;
(4)到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。
解:(1)取二定点的连线为轴,二定点连接线段的中点作为坐标原点,且令两距离之比的常数为,二定点的距离为,则二定点的坐标为,设动点,所求的轨迹为,则
亦即
经同解变形得:
上式即为所要求的动点的轨迹方程。
(2)建立坐标系如(1),但设两定点的距离为,距离之和常数为。设动点,要求的轨迹为,
则
亦即
两边平方且整理后,得: (1)
从而(1)为
即:
由于上述过程为同解变形,所以(3)即为所求的轨迹方程。
(3)建立如(2)的坐标系,设动点,所求的轨迹为,
则
类似于(2),上式经同解变形为:
其中(*)
(*)即为所求的轨迹的方程。
(4)取定平面为面,并让定点在轴上,从而定点的坐标为,再令距离之比为。
设动点,所求的轨迹为,则
将上述方程经同解化简为: (*)
(*)即为所要求的轨迹方程。
求下列各球面的方程:
(1)中心,半径为;
(2)中心在原点,且经过点;
(3)一条直径的两端点是
(4)通过原点与
解:(1)由本节例5 知,所求的球面方程为:
(2)由已知,球面半径
所以类似上题,得球面方程为
(3)由已知,球面的球心坐标,球的半径,所以球面方程为:
(4)设所求的球面方程为:
因该球面经过点,所以
(1)
解(1)有
所求的球面方程为
§ 母线平行于坐标轴的柱面方程
1、画出下列方程所表示的曲面的图形。
(1)
解:各题的图形如下:
(1)
§
1、平面与的公共点组成怎样的轨迹。
解:上述二图形的公共点的坐标满足
从而:(Ⅰ)当时,公共点的轨迹为:
及
即为两条平行轴的直线;
(Ⅱ)当时,公共点的轨迹为:
即为轴;
(Ⅲ)当时,公共点的轨迹为:
即过且平行于轴的直线;
(Ⅳ)当或时,两图形无公共点。
2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线?
(1); (2);
(3); (4)
解:(1)曲面与面的交线为:
此曲线是圆心在原点,半径且处在面上的圆。
同理可求出曲面与面及面的交线分别为:
,
它们分别是中心在原点,长轴在轴上,且处在面上的椭圆,以及中心在原点,长轴在轴上,且处在面上的椭圆;
(2)由面与面,面,面的交线分别为:
,,
亦即:,,
即为中心在原点,长轴在轴上,且处在面上的椭圆;中心