文档介绍：第3章张量函数及其导数2020年1月3日主要内容张量函数、各向同性张量函数的定义和例矢量的标量函数二阶张量的标量函数二阶张量的二阶张量函数张量函数导数的定义,链规则矢量的函数之导数二阶张量的函数之导数张量函数、各向同性张量函数的定义和例要研究导数,必须引进函数。张量函数,有各种类型。例如,张量的标量函数:例如,张量的张量函数:张量函数、各向同性张量函数的定义和例各向同性张量函数(客观性背景)可先看各向同性标量函数:在坐标系刚性旋转变换下,其表现形式和数值均保持不变。例如:张量函数、各向同性张量函数的定义和例等价表示或等价描述:上述各向同性函数的描述,虽然清晰,但很不方便,因为坐标系要旋转。问题:能否找到一种等价描述,在该描述下,坐标系保持不动?经典《解析几何》中,解析地描述一个几何图形的运动,有两种不同的思想。一种思想:图形不动,移动坐标。但运动是相对的,于是另一种思想:坐标不动,图形移动。注意:运动学思想之重要!张量函数、各向同性张量函数的定义和例考察一个最简单的图形,一个矢量。研究两种相对的旋转运动下,矢量的表达,以及矢量的标量函数的表达。一种旋转运动,矢量不动,坐标系顺时针旋转一个角度,函数不变:另一种旋转运动,坐标系不动,矢量逆时针旋转同一个角度,函数不变:进一步:张量函数、各向同性张量函数的定义和例矢量的旋转量:二阶张量的旋转量:进一步看:张量函数、各向同性张量函数的定义和例把上述思想推广至一般情形:各向同性张量函数函数满足当自变量改为其旋转量时,函数值必相应地变为其旋转量,即:通过正交变换,使从而使张量函数、各向同性张量函数的定义和例各向同性张量函数例子请见《张量分析》的92~93页。矢量的标量函数Cauchy基本表示定理:矢量的标量函数为各向同性f可表示为内积的函数。推论:矢量的标量函数为各向同性f可表示为