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文档介绍：主要内容
二阶张量的矩阵
正则与退化的二阶张量
二阶张量的不变量
二阶张量的标准型
几种特殊的二阶张量
二阶张量的分解
正交相似二阶张量
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二阶张量的矩阵
二阶张量的分量包含协变、逆变和两种混变形式
以上四种分量形式对应着张量的四种矩阵形式
其中， 矩阵是最重要的张量矩阵。
WHY?
二阶张量的转置张量
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二阶张量的矩阵
二阶张量的转置张量所对应的矩阵
对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
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二阶张量的矩阵
二阶张量的行列式
通常定义 的行列式为张量T的行列式
由于两个互为转置的矩阵的行列式相等，所以
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二阶张量的矩阵
张量的加法和乘法运算与矩阵运算一一对应。
求迹运算，即缩并，对应于求 矩阵的对角线元素之和。
二阶张量与矢量的点积，即线性变换。例如：
该运算具有线性性质：
两个二阶张量的点积
只有取 ， 矩阵时，才与矩阵乘法相对应。
二阶张量的某些运算没有对应的矩阵运算
例如，并乘运算。
二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
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正则与退化的二阶张量
行列式值不为零的二阶张量T称为正则的，否则称为退化的。
二阶张量将整个矢量空间中的任意矢量映射为矢量。
任意二阶张量将零矢量映射为零矢量：
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集：
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正则与退化的二阶张量
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射为另一矢量组，满足：
正则二阶张量的特性：
正则的二阶张量T的转置张量TT也是正则的，正则的二阶张量T存在唯一的逆T-1。
二阶张量T是正则的充要条件是 ，当且仅当
。
单射性。若 ， 则
满射性。若 ，则存在唯一的逆变换
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二阶张量的不变量（代数）
力学是用张量的不变量写成的！
Gorldan猜想：代数结构中有无穷多不变量，但基本不变量只有有限个。
埃米·诺特 Emmy Noether（1882-1935）
伟大的抽象代数之母诺特，石破天惊的思想：
任何对称性，都对应某种形式的守恒律！！
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二阶张量的不变量（代数）
二阶张量T的标量不变量：
对应静水应力）
（力学中，


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二阶张量的不变量（代数）
二阶张量T的三个主不变量：
二阶张量T的矩：
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