文档介绍：初等数学研究
主讲人:张新颜
第二章数学问题研究
问题1:“八字眉”问题
除了“8点又分”,还有没有其它时刻时针与分针也处于对称位置?如果有,共有几次?它们分别在哪一时刻?
“八字眉”问题实际上是求钟表上时针与分针的相对位置是哪一时刻的问题,诸如此类的问题还有很多,比如:在哪一时刻时针与分针重合、垂直、成30度角等等。
牛顿问题
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
牧场上有一片青草,可供27头牛吃6周,或者供23头牛吃9周。如果草每周生长速度相同,那么这片青草可供21头牛吃几周?
问题3:牛吃草问题
方法一
每天的长草量: ( 23×9-27×6)÷( 9-6 )= 15 ( 单位量)
牧场原有草量:(27-15 )×6=72( 单位量) 或:(23-15 )×9=72( 单位量)
21头牛去吃,可吃天数: 72÷( 21-15 )= 12
牧场原有草量÷ 21头牛每天实际消耗原有草量=可吃天数
解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是︰
草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;
吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
方法二
设而不求法
设这片青草可供21头牛吃x周,每头牛每周吃草量为a,每周新长出的草量为b,牧场原有的草量为m。
练习:
一只船发现漏水时,已经进了一些水,现在水匀速地进入船内。如果10人舀水,3小时可以舀完;5人舀水,8小时可以舀完。如果要求2小时舀完,要安排多少人舀水?
解:设1人1小时的舀水量为“1”。
每小时进入船内的水量为:
(5×8-10×3)÷(8-3)=(40-30)÷5=10÷5=2(份)
船内原有的水量为:10×3-2×3=30-6=24(份)
2小时船内的总水量为:24+2×2=28(份)
2小时舀完水需要的人数是:28÷2=14(人)
某火车站的检票口,在检票开始前已有人排队,检票开始后每分钟有10人前来检票,一个检票口每分钟能让25人检票进站。如果只开一个检票口,检票开始8分钟后就没有人排队了;如果开2个检票口,那么检票开始后多少分钟就没有人排队了?
解:8分钟时,检票口共检票:25×8=200(人)
8分钟时,车站新进来的检票人数为:10×8=80(人)
车站原来等待检票的人数为:200-80=120(人)
同时开两个检票口需要的时间是:
120÷(25×2-10)=120÷40=3(分钟)