文档介绍：高等数学上册第六版课后习题详细答案第三章
习题3-1
1. 验证罗尔定理对函数y=ln sin x 在区间上的正确性.
解因为y=ln sin x 在区间上连续, 在内可导, 且, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点, 使得y¢(x)=cot x=0.
由y¢(x)=cot x=0得.
因此确有, 使y¢(x)=cot x=0.
2. 验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间[0, 1]上的正确性.
解因为y=4x3-5x2+x-2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点xÎ(0, 1), 使.
由y¢(x)=12x2-10x+1=0得.
因此确有, 使.
3. 对函数f(x)=sin x及F(x)=x+cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性.
解因为f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在区间上连续, 在可导, 且F¢(x)=1-sin x在内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点, 使得
.
令, 即.
化简得. 易证, 所以在内有解, 即确实存在, 使得
.
4. 试证明对函数y=px2+qx+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间.
证明因为函数y=px2+qx+r在闭区间[a, b]上连续, 在开区间(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点xÎ(a, b), 使得y(b)-y(a)=y¢(x)(b-a), 即
(pb2+qb+r)-(pa2+qa+r)=(2px+q)(b-a).
化间上式得
p(b-a)(b+a)=2px (b-a),
故.
5. 不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数,说明方程f ¢(x)=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.
解由于f(x)在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x1Î(1, 2), 使f ¢(x1)=0. 同理存在x2Î(2, 3), 使f ¢(x2)=0; 存在x3Î(3, 4), 使f ¢(x3)=0. 显然x1、x2、x 3都是方程f ¢(x)=0的根. 注意到方程f ¢(x)=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f ¢(x)=0的全部根.
6. 证明恒等式: (-1£x£1).
证明设f(x)= arcsin x+os x. 因为
,
所以f (x)ºC, 其中C是一常数.
因此, 即.
7. 若方程a0xn+a1xn-1+ × × × + an-1x=0有一个正根x0, 证明方程
a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + × × × +an-1 =0
必有一个小于x0的正根.
证明设F(x)=a0xn+a1xn-1+ × × × + an-1x, 由于F(x)在[0, x0]上连续, 在(0, x0)内可导, 且F(0)=F(x0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点xÎ(0, x0), 使F ¢(x)=0, 即方程
a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + × × × +an-1 =0
必有一个小于x0的正根.
8. 若函数f(x)在(a, b)内具有二阶导数, 且f(x1)=f(x2)=f(x3), 其中
a<x1<x2<x3<b, 证明:
在(x1, x3)内至少有一点x, 使得f ¢¢(x)=0.
证明由于f(x)在[x1, x2]上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f(x1)=f(x2), 根据罗尔定理, 至少存在一点x1Î(x1, x2), 使f ¢(x1)=0. 同理存在一点x2Î(x2, x3), 使f ¢(x2)=0.
又由于f ¢(x)在[x1, x2]上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f ¢(x1)=f ¢(x2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x Î(x1, x2)Ì(x1, x3), 使f ¢¢(x )=0.
9. 设a>b>0, n>1, 证明:
nbn-1(a-b)<an-bn<nan-1(a-b) .
证明设f(x)=xn, 则f(x)在[b, a]上连续, 在(b, a)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在xÎ(b, a), 使
f(a)-f(b)=f ¢(x)(a-b), 即an-bn=nx n-1(a-b).
因为 nbn-1(a-b)<nx n-1(a-b)< nan-1(a-b),
所以 nbn-1(a-b)<an-bn< nan-1(a-b) .