文档介绍：高等数学上册第六版课后习题详细答案第二章
习题2-1
1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为q, 从而转角q是t的函数: q=q(t). 如果旋转是匀速的, 那么称为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t0的角速度?
解在时间间隔[t0, t0+Dt]内的平均角速度为
,
故t0时刻的角速度为
.
2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t), 应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度?
解物体在时间间隔[t0, t0+Dt]内, 温度的改变量为
DT=T(t+Dt)-T(t),
平均冷却速度为
,
故物体在时刻t的冷却速度为
.
3. 设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元, 此函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f¢(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f¢(x)的实际意义.
解 f(x+Dx)-f(x)表示当产量由x改变到x+Dx时成本的改变量.
表示当产量由x改变到x+Dx时单位产量的成本.
表示当产量为x时单位产量的成本.
4. 设f(x)=10x2, 试按定义, 求f ¢(-1).
解
.
5. 证明(cos x)¢=-sin x.
解

.
6. 下列各题中均假定f ¢(x0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A表示什么:
(1);
解
.
(2), 其中f(0)=0, 且f ¢(0)存在;
解.
(3).
解

=f ¢(x0)-[-f ¢(x0)]=2f ¢(x0).
7. 求下列函数的导数:
(1)y=x4;
(2);
(3)y=x1. 6;
(4);
(5);
(6);
(7);
解(1)y¢=(x4)¢=4x4-1=4x3 .
(2).
(3)y¢=(x1. 6)¢=. 6-1= 0. 6.
(4).
(5).
(6).
(7).
8. 已知物体的运动规律为s=t3(m). 求这物体在t=2秒(s)时的速度.
解v=(s)¢=3t2, v|t=2=12(米/秒).
9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0.
证明当f(x)为偶函数时, f(-x)=f(x), 所以
,
从而有2f ¢(0)=0, 即f ¢(0)=0.
10. 求曲线y=sin x在具有下列横坐标的各点处切线的斜率: , x=p.
解因为y¢=cos x, 所以斜率分别为
, .
11. 求曲线y=cos x上点处的切线方程和法线方程式.
解y¢=-sin x, ,
故在点处, 切线方程为,
法线方程为.
12. 求曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程.
解y¢=ex, y¢|x=0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为
y-1=1×(x-0), 即y=x+1.
13. 在抛物线y=x2上取横坐标为x1=1及x2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?
解 y¢=2x, 割线斜率为.
令2x=4, 得x=2.
因此抛物线y=x2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线.
14. 讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性:
(1)y=|sin x|;
(2) .
解(1)因为
y(0)=0, , ,
所以函数在x=0处连续.
又因为
,
,
而y¢-(0)¹y¢+(0), 所以函数在x=0处不可导.
解因为, 又y(0)=0, 所以函数在x=0处连续.
又因为
,
所以函数在点x=0处可导, 且y¢(0)=0.
15. 设函数为了使函数f(x)在x=1处连续且可导, a, b应取什么值?
解因为
, , f(1)=a+b,
所以要使函数在x=1处连续, 必须a+b=1 .
又因为当a+b=1时
,
,
所以要使函数在x=1处可导, 必须a=2, 此时b=-1.
16. 已知求f+¢(0)及f-¢(0), 又f ¢(0)是否存在?
解因为
f-¢(0)=,
f+¢(0)=,
而f-¢(0)¹f+¢(0), 所以f ¢(0)不存在.
17. 已知f(x)=, 求f ¢(x) .
解当x<0时, f(x)=sin x, f ¢(x)=cos x