文档介绍：高等数学上册第六版课后习题详细答案第六章
习题6-2
1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积:
(1)
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为
.
(2)
解法一画斜线部分在x轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为
,
解法二画斜线部分在y轴上的投影区间为[1, e]. 所求的面积为
.
(3)
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为
.
(4)
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为
.
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:
(1) 与x2+y2=8(两部分都要计算);
解:

.
.
(2)与直线y=x及x=2;
解:
所求的面积为
.
(3) y=ex, y=e-x与直线x=1;
解:
所求的面积为
.
(4)y=ln x, y轴与直线y=ln a, y=ln b (b>a>0).
解
所求的面积为

3. 求抛物线y=-x2+4x-3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积.
解:
y¢=-2 x+4.
过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y=4(x-3).
过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y=-2x+6.
两切线的交点为, 所求的面积为
.
4. 求抛物线y2=2px及其在点处的法线所围成的图形的面积.
解
2y×y¢=2p .
在点处, , 法线的斜率k=-1,
法线的方程为, 即.
求得法线与抛物线的两个交点为和.
法线与抛物线所围成的图形的面积为
.
5. 求由下列各曲线所围成的图形的面积;
(1)r=2acosq ;
解:
所求的面积为
=pa2.
(2)x=acos3t, y=asin3t;
解
所求的面积为

.
(3)r=2a(2+cosq )
解
所求的面积为
.
6. 求由摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱(0£t£2p)与横轴所围成的图形的面积.
解:
所求的面积为

.
7. 求对数螺线r=aeq(-p£q£p)及射线q=p所围成的图形面积.
解
所求的面积为
.
8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.
(1)r=3cosq 及r=1+cosq
解

曲线r=3cosq 与r=1+cosq 交点的极坐标为, . 由对称性, 所求的面积为
.
(2)及.
解
曲线与的交点M的极坐标为M. 所求的面积为
.
9. 求位于曲线y=ex下方, 该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积.
解设直线y=kx与曲线y=ex相切于A(x0, y0)点, 则有
,
求得x0=1, y0=e, k=e .
所求面积为
.
10. 求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值.
解设弦的倾角为a. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为
.
显然当时, A1=0; 当时, A1>0.
因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为
.
11. 把抛物线y2=4ax及直线x=x0(x0>0)所围成的图形绕x轴旋转, 计算所得旋转体的体积.
解所得旋转体的体积为
.
12. 由y=x3, x=2, y=0所围成的图形, 分别绕x轴及y轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积.
解绕x轴旋转所得旋转体的体积为
.
绕y轴旋转所得旋转体的体积为

.
13. 把星形线所围成的图形, 绕x轴旋转, 计算所得旋转体的体积.
解由对称性, 所求旋转体的体积为

.
14. 用积分方法证明图中球缺的体积为.
证明
.
15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积