文档介绍：相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种:一、,的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证:证明:过点C作CG//FD交AB于G小结:本题关键在于AD=AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法:相似、成比例。,△ABC中,AB<AC,在AB、AC上分别截取BD=CE,DE,BC的延长线相交于点F,证明:AB·DF=AC·EF。分析:证明等积式问题常常化为比例式,再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似,因而要通过两组三角形相似,运用中间比代换得到,为构造相似三角形,需添加平行线。方法一:过E作EM//AB,交BC于点M,则△EMC∽△ABC(两角对应相等,两三角形相似)。方法二:如图,过D作DN//EC交BC于N二、,垂足分别为E、F,求证:。证明:过B作BM⊥AC于M,过D作DN⊥AC于N∴∽∴∴(1)又∽∴∴(2)(1)+(2)又∴AN=CM∴三、,RtABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于F,FGAB于G,求证:FG=CFBF解析:欲证式即由“三点定形”,ΔBFG与ΔCFG会相似吗?显然不可能。(因为ΔBFG为RtΔ),但由E为CD的中点,∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H则∴又ED=EC∴FG=FH又易证RtΔCFH∽RtΔGFB∴∴FG·FH=CF·BF∵FG=FH∴FG2=CF·BF四、作中线例6如图,中,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC。解:取BC的中点M,连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C又BD=DC∴∴∴∽∴又DC=1MC=BC∴(1)又∽又∵EC=1∴(2)由(1)(2)得,∴小结:利用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形相似,取BC中点M,构造与相似是解题关键练****题1、在△ABC中,D为AC上的一点,E为CB延长线上的一点,BE=AD,DE交AB于F。求证:EF×BC=AC×DF2、中,,AC=BC,P是AB上一点,Q是PC上一点(不是中点),MN过Q且MN⊥CP,交AC、BC于M、N,求证:。例1:已知:如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥:BC2=2CD·(构造2CD):如图,在AC截取DE=DC,∵BD⊥AC于D,∴BD是线段CE的垂直平分线,∴BC=BE,∴∠C=∠BEC,又∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.∴△BCE∽△ACB.∴,∴∴BC2=2CD·(构造2AC):如图,在CA的延长线上截取AE=AC,连结BE,∵AB=AC,∴AB=AC=AE.∴∠EBC=90°,又∵BD⊥AC.∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°,∴∠E=∠DBC,∴△EBC∽△BDC∴即∴BC2=2CD·(构造):如图,取BC的中点E,连结AE,则EC=.又∵AB=AC,∴AE⊥BC,∠ACE=∠C∴∠AEC=∠BDC=90°∴△ACE∽△BCD.∴即.∴BC2=2CD·(构造):如图,取BC中点E,连结DE,则CE=.∵BD⊥AC,∴BE=EC=EB,∴∠EDC=∠C又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴△ABC∽△EDC.∴J即.∴BC2=2CD·,,,是腰上的一点,连结(1)如果,,,求的度数;(2)设和四边形的面积分别为和,且,试求的值(1)设,则解法1 如图,延长、交于点,,,为的中点又,又为等边三角形故解法2 如图作分别交、于点、则,得平行四边形同解法1可证得为等边三角形故解法3 如图作交于,交的延长线于作,分别交、于点、则,得矩形,又,故为、的中点以下同解法1可得是等边三角形故解法4 如图,作,交于,作,交于,得平行四边形,且读者可自行证得是等边三角形,故解法5 如图延长、交于点,作,分别交、于点、,得平行四边形可证得为的中点,则,故得为等边三角形,故解法6 如图(补形法),读者可自行证明是等边三角形,得(注:此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等)(2)设,则解法1(补形法)如图补成平行四边形,连结,则设,则,由得,,解法2 (补形法)如图,延长、交于点,,,又设,则,,,解法3(补形法)如图连结,作交延长线于点连结则∽,故(1),故(2)由(1)、(2)两式得即解法4(割补法)如图连结与的中点并延长交延长线于点,如图,过、分别作高、,则且