文档介绍：公理与定理
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、,判断下列命题为真命题是根据什么呢?
说一说
是分别根据实数、整数、有理数、正方形的定义作出的判断.
(1)如果a是有理数,那么a是实数;
(2)如果m是自然数,那么m是整数;
(3)如果a是整数,那么a是有理数;
(4)如果四边形ABCD是正方形,那么它是矩形.
结论
从上面的例子看到,在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义,但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.
对于绝大多数命题的真假的判断,光用定义是远远不够的,那么除了根据定义外,还能根据什么来推理,去判断命题的真假呢?
(1)如果a是有理数,那么a是实数;
(2)如果m是自然数,那么m是整数;
(3)如果a是整数,那么a是有理数;
(4)如果四边形ABCD是正方形,那么它是矩形.
古希腊数学家欧几里得(Euclid,约公元前330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结,他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题,作为证明的原始依据,称这些真命题为公理.
小知识
欧几里得
公理
小知识
欧几里得以基本定义和公理作为推理的出发点,去判断其他命题的真假,已经判断为真的命题称为定理,它也可以作为判断其他命题的真假的依据.
定理
小知识
欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法)编写了一本书,书名叫《原本》.全书共分13卷,包括有5条公理,5条公设,119个定义和465条命题,构成了历史上第一个数学公理体系.
(注:欧几里得把公设和公理加以区分,即公理是适用于一切科学的真理,,都称为公理.)
《原本》.
把哪些真命题作为公理应当遵循下列原则:直观,易于被大家所公认;够用;尽可能少;相互之间不闹矛盾等.
根据上述原则并且考虑到同学们的实际情况,我们编写的这套教材到目前为止选择了下列真命题作为公理:
1. 等量加等量,和相等.
2. 等量减等量,差相等.
a=b,
a+c=b+c
a=b,
a-c=b-c
3. 等量代换(即,如果a=b且c=b,那么a=c).
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6. 连接两点的所有连线中,线段最短.