文档介绍：第一节二次型及其矩阵表示
第二节正交变换
第三节用正交变换化二次型为标准形
第七章二次型与二次曲面
第四节用配方法化二次型为标准形
第五节正定二次型
一、三元二次型及其表示
二、n元二次型及其矩阵表示
二次型及其矩阵表示
三、二次型的标准形
定义1
第七章二次型与二次曲面
二次齐次多项式
f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz
称为实二次型.
其中aij 为实常数.
一、三元二次型及其表示
§1、二次型及其矩阵表示
取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 ,
从而, 2a12xy = a12xy + a21yx ,
2a13xz = a13xz + a31zx ,
2a23yz = a23yz + a32zy .
f = a11x2 + a12xy + a13xz
+ a21yx + a22y2 + a23yz
+ a31zx + a32zy + a33z2
= x (a11x + a12y + a13z)
+ y (a21x + a22y + a23z)
+ z (a31x + a32y + a33z)
= XT AX .
称 A 为二次型 f 的矩阵,它是一个对称矩阵.
三元实二次型 f
三阶实对称矩阵 A
一一对应
A
X
例 2
第七章二次型与二次曲面
例 1
1
3
4
1
0
1
0
解
上一页
例 2
若二次型 f 的矩阵为
试写出 f .
解
,
定义2
第七章二次型与二次曲面
§1、二次型及其矩阵表示
二、n 元二次型及其矩阵表示
称 n 元实二次齐次式
为 n 元实二次型.
记 aij = aji, 则
记 X = ( x1, x2, …, xn)T, A =( aij )nn , 则
f ( x1, x2, …, xn) = X TAX ,
其中 A 称为二次型的矩阵,A 的秩称为二次型的秩.
①由于aij = aji , 所以 A T= A ,
② A中 aii 是 xi2 的系数, aij 是交叉项 xixj 系数的一半.
注:
n 元实二次型 f
n 阶实对称矩阵 A
一一对应
定义3
第七章二次型与二次曲面
§1、二次型及其矩阵表示
三、二次型的标准形
称只含平方项的二次型
为标准二次型.
n 元标准二次型 f
n 阶对角矩阵
一一对应
思考:二次型 f = X TAX 经过满秩线性变换 X = CY 后还是二次型吗?
对于二次型 f = X TAX ,作满秩变换 X = CY ,
则 f = X TAX = (CY )TA(CY) = Y T(C TAC ) Y .
而(C TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC ,
所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型, 且二次型的矩阵为 C TAC .
满秩变换 X = CY
f = X TAX
F = Y TBY
 B = C TAC
定义4
定义5
第七章二次型与二次曲面
对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B ,若存在可逆矩阵 P 使
P TAP = B
则称 A 合同于B,记作 A B

如果满秩变换 X = CY 将二次型 f = X TAX 化成了标准二次型
的一个标准形.
为 f = X TAX
因此,二次型经满秩线性变换后所得的新二次型,其矩阵与原二次型的矩阵是合同的.
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一、正交变换的概念
二、正交矩阵
正交变换
定义1
§2. 正交变换
一、正交变换的概念
设是 n 维欧氏空间 Rn 上的线性变换,若对任意的 X, YRn, 有
|| (X)(Y ) || = || XY || , (* )
则称为 Rn 上的正交变换.
(*)可写成:
|| (XY ) || = || XY || .
第七章二次型与二次曲面
定理1
设是欧氏空间 Rn 上的线性变换,则下列四个条件等价(互为充分必要条件) .
(1) 为正交变换.
(2) 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基.
(3) ||()|| = ||||,  Rn ( 保持向量长度不变) .
(4) ((X ), (Y )) = ( X, Y ) ( 保内积不变) .
定义2
§2. 正交变换
二、正交矩阵
正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为正交矩阵.
第七章二次型与二次曲面
定理 2
A 是正交矩阵 ATA=E ( 或AAT