文档介绍：第一节向量的概念及其线性运算
第四节向量的线性相关性
第二节空间的直角坐标系及向量的坐标
第五节向量空间的基与坐标
第三节向量空间
*第六节线性空间基本概念介绍
第三章向量空间
一、向量的概念
向量的概念及其线性运算
二、向量的线性运算
第三章向量空间
§
向量可用空间的一个有向线段来表示,如
A
B
一、向量的概念
例如力,速度,加速度等均为向量.
既有大小,又有方向的量称为向量(又称矢量).
定义1
其中有向线段的长度表示向量的大小,称为向量的长度(模). 有向线段的指向表示向量的方向. 这样的向量我们均称为(几何)向量.
如果 A, B 分别是向量的起点和终点,则向量可用符号 AB 表示,也可用一希腊字如, , , …等表示.
向量 AB (或)的模用符号||AB|| (或|| ||)来表示. 模为1的向量称为单位向量; 模为零的向量称为零向量,记作 0,零向量的方向不定.
方向相同且模相等的向量称为相等的向量,也就是说,向量与它的起点无关,而只与它的长度及方向有关. 在讨论多个向量时,我们常把它们平移到同一起点.
第三章向量空间
如果 n 个向量平行于同一直线,则称它们共线. 向量, 共线记为// . 我们规定, 零向量与任何向量共线. 如果 n 个向量平行于同一直平面,则称它们共面. 显然,任意两个向量一定共面.
与向量的长度相等,方向相反的向量称为的负向量,记为,显然 AB = BA.
A
B
-
A
B
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第三章向量空间
二、向量的线性运算
1. 向量的加法
+
O
A
B
设, 为空间中两个向量,在空间中任取一点O, 作 OA = , AB = , 则向量 OB 称为与的和,记为+ .
定义2
2. 向量与数的乘法
设为向量, 为实数,定义与的乘积是满足如下两条件的向量:
i) || || = | | || ||,
ii) 当> 0 时, 的方向与相同;当< 0 时, 的方向与相反.
定义3
§
显然,当= 0 或= 0 时, = 0.
如:
2
2
第三章向量空间
设为一非零向量, 0 为与同向的单位向量,则由向量的数乘可知
= || || 0,
或
此时0 又称为的单位化向量.
向量的加法及数与向量的乘法这两种运算称为向量的线性运算.
利用向量的数乘,显然有
定理 1
向量与非零向量平行的充要条件是存在非零实数, 使
= .
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第三章向量空间
向量的线性运算满足下面的运算法则:
1) + = + ; (加法交换律)
2) (+ ) + = + (+ ); (加法结合律)
3) 0 + = ;
4) + ( ) = 0;
5) 1= ;
6) 1( 2 ) = ( 1 2) ; (数乘结合律)
7) (1 + 2) = 1 + 2 ; (第一分配律)
8) ( + ) = + ; (第二分配律)
其中, , 表示空间中任意向量, 1, 2 表示任意实数.
定理 2
以上 8 条法则可直接由定义得出. 例如由下图
+= +
可得出1) + = + .
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第三章向量空间
由下图
+
(+ ) + = + ( + )
+
可得出2) (+ ) + = + ( + );
3), 4), 5)显然.
下面看 8):
如果, 有一为零向量,或= 0, 8) 显然成立. 设≠ 0, ≠ 0, ≠ 0, 当> 0 时, 由下图
A
B
C
+
A1
B1
C1
+
因为// , // ,
且
知△ABC ∽△A1B1C1, 故(+ ) // (+ ),
且
即+ 与+ 同向, 且| + | = |+ | , 从而由数与向量相乘的定义可得出
8) ( + ) = ( + ) . 当< 0 时,同样可证明 8) 成立.
6), 7) 留给同学们自己证明.
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例 1
第三章向量空间
根据向量的加法,定义两向量的减法为:
= + ( ).
显然, 若= , 则+ = ,