文档介绍：
回顾
①平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:
②割线的斜率
O
A
B
x
y
Y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x2-x1=△x
f(x2)-f(x1)=△y
回顾
以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,
从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数y=f(x)
在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0即
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择
哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
回顾
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
导数的几何意义:
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即:
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
要注意,曲线在某点处的切线:
1) 与该点的位置有关;
,则在
此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,
可以有多个,甚至可以无穷多个.
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
Q
P
y
=
x
2
+1
x
y
-
1
1
1
O
j
M
D
y
D
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②利用切线斜率的定义求
出切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
练习:如图已知曲线,求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
y
x
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
3
4
O
P
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0) ,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x):