文档介绍：:考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然Lagrange插值中使用的节点越多,插值多项式的次数越高,我们自然关心插值多项式的次数增加时,是否也更加靠近被逼近的函数。Runge给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间[-1,1]上函数实验内容:考虑空间[-1,1]的一个等距划分,分点为,0,1,2...,,,是次Lagrange插值基函数。实验要求:选择不断增大的分点数目画出原函数及插值多项式函数在[-1,1]上的图像,比较并分析实验结果。选择其他的函数,例如定义在区间[-5,5]上的函数,重复上述的实验看其结果如何。首先编写拉格朗日插值函数的Matlab实现:Matlab程序为:functiony=lagrange(x0,y0,x)%Lagrange插值n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=;fork=1:np=;forj=1:nif(j~=k)p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=s+p*y0(k);endy(i)=s;end当函数为时,Matlab程序为:x=linspace(-1,1,100);y=1./(1+25*x.^2);plot(x,y)holdon;fori=2:2:10x0=linspace(-1,1,i+1);y0=1./(1+25*x0.^2);y=laglanri(x0,y0,x);plot(x,y,'r--')holdonend运行结果:结果分析:从图上看到在区间[-1,1]的两端点附近,随着插值点数的增加,插值函数与偏离的越远,而且出现了振荡现象。当函数为时Matlab程序为:x=linspace(-5,5,100);y=x./(1+x.^4);plot(x,y)holdon;fori=2:2:10x0=linspace(-5,5,i+1);y0=x0./(1+x0.^4);y=laglanri(x0,y0,x);plot(x,y,'r--')holdonend运行结果:结果分析:从图上看到在区间[-5,5]的两端点附近,随着插值点数的增加,插值函数与偏离的越远,而且出现了振荡现象。当函数为x=linspace(-5,5,100);y=atan(x);plot(x,y)holdon;fori=2:2:10x0=linspace(-5,5,i+1);y0=atan(x0);y=laglanri(x0,y0,x);plot(x,y,'r--')holdonend运行结果:结果分析:从图上看到在区间[-5,5]的两端点附近,随着插值点数的增加,插值函数与偏离的越远,而且出现了振荡现象。,。-----≡1,求拟合曲线≡中的参数、平方误差,并作离散数据的拟合函数的图像。Matlab程序如下:x0=-1::2;y0=[---];alph=polyfit(x0,y0,n);%ployfit为最小二乘拟合函数,alph为系数(按降幂排列y=polyval(alph,x0);r=(y0-y)*(y0-y)';%平方误差,注意平方的表达式x=-1::2;y=polyval(alph,x);plot(x,y,'k--');xlabel('x');ylabel('拟合曲线');holdon;plot(x0,y0,'*');title('离散数据的多项式拟合');gridon;disp(['平方误差:',sprintf('%g',r)]);disp(['参数alph:',sprintf('%g\t',alph)])运行结果:平方误差:-005参数alph: - --005 :根据给定的7个点的数据,所求的拟合函数的曲线可以基本地反映数据点的变化趋势。所求的三次多项式为:其最小平方误差为:-005。::数值计算下列各式右端定积分的近似值.;(2);;(4);实验要求:若用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-LegendreI型公式做计算,要求绝对误差限为,,复化Simpson公式和复化Gauss-