文档介绍：从一道中考题谈几何教学中的“基本图形”
上海师范大学附属外国语中学苏有马
许多同学在学习数学时都有一种感觉:数学知识越学越多,有时反而不知道用什么方法去解决了;或者有时遇到一个问题百思不得其解,一经别人点拨就立刻豁然开朗、茅塞顿开,才知如此简单。特别是对于进入初三的同学,这种感觉更是明显。有许多同学一遇到综合性题目就会“手忙脚乱”,不知从何下手,但经老师分析后,他也能很快予以解决。笔者认为,造成这种结果有主客观两方面原因。
(一)客观方面数学题型多变,特别是几何图形千变万化,同一个知识点考核方法各不相同,好像捉摸不透;另一个客观原因是由于知识存储越来越多,有时无法很快做出选择,或犹豫不决、或几种方法纠缠不清,解题思路不清晰。
(二)主观方面许多同学缺乏对知识进行必要的归纳总结,遇一题、解一题,“就题论题”,不能找到各个问题间的内在联系。当然最为重要的一个原因在于“心中无题,没有自信”,缺乏敏锐的观察力。不能从复杂的图形中分解出自己所熟知的基本题型和基本图形,各个击破,逐一解决也是许多同学的困难所在。总之,如何真正实现由“数学知识”向“数学能力”转化,才是数学教学的关键所在。
如上海市2005年中考数学试卷最后一题:
在△ABC中,∠ABC=900,AB=4,BC=3,O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E,作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于F。
如图1,求证:△ADE∽△AEP;
设OA=x,AP=y, 求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
当BF=1时,求线段AP的长。
图1 备用图
此题题目较长,图形复杂,看似较难。但是如果我们将其分解成若干个基本题型或基本图形,逐一解决,就变得容易多了。而且大多数同学在平时的学习中对以下基本图形都已经相当熟悉了。
基本图形(1):直角三角形(勾股定理),在Rt△ABC
中,∠ABC=90O,AB=4,BC=3,易得AC=5,即△ABC唯一
确定。(1)
基本图形(2):圆与切线(切线性质定理)半圆O与
AD相切于点D,若连结OD(也必定要连接OD),则一定有
OD⊥AD成立。(2)
基本图形(3):有一个公共角的两个相似三角形(相
似三角形判定),已知有一对角相等,由等边对等角和等式
性质,易得△ADE∽△AEP 。(3)
基本图形(4):相似三角形三边对应关系(相似三角形
性质定理),已知OA=x,需用x表示其它相关线段,显然,
OD∥CB,同理,易证
第(2)问。当然也可以运用相似或锐角三角比(4)
基本图形(5):对顶直角三角形(有一对非直角的对顶
角的两个直角三角形一定相似),易得△BPF∽△EPD,所以
,由第(1)问得,所以BP=2BF。
可求第(3)问。(5)
基本图形(6):“平角上剪去一个直角”,因为
∠PED=900,∠CEA=180,所以∠1+∠2=90O,∠2=∠APE
=∠BPF,而∠BPF+∠F=900,由等角的余角相等得
∠F=∠FEC,所以CF=CE,可求得AE,即求得x,
由函数解析式从而得出y值(即AP的长)。(6)
怎样才能从这样复杂的图形中找出这些“有用的”基本图形,是一个说起来简单,但做起来还是比较难的问题。所以说如何帮助同学在平时的