文档介绍：第二讲式、代数式与不等式
用字母表示数,数学研究的对象便从数扩展到式。式本身不仅是代表数的符号,也是表明对于数和字母按怎样的次序进行什么运算的符号。
按照一定的数学法则,把数学符号连接起来的符号串,我们称之为数学式。数学式是数学研究的基本对象。
一、数学符号简史
古代数学涉及的抽象概念很少,也很少利用抽象符号。欧几里得《几何原本》就不使用数学符号。中国古代数学虽然很早就使用小数和分数,包括使用0,也大量求解方程,但是因为计算过程依赖于算筹,所以也没有使用小数点、分数和其它运算符号,0只是一个空格。
公元10世纪左右的阿拉伯数学,用文字代表数,使得数和文字可以实行运算,并借此求未知数,这是一项重大贡献,但是他们仍然以文字表述为主。
最早使用“+”“-”表示加减的是15世纪的德国数学家。现存于德累斯顿图书馆的数学手稿(1486年)中,首见此符号。
1631年,英国数学家奥特雷德在《数学之钥》一书中使用“×”表示乘法,而1698年莱布尼茨在一封信中使用“.”表示乘法,这样可以避免“×”和字母混淆。除法的记号“÷”在1659年由瑞士人雷恩引入。
等号是英国数学家雷科德于1557年在《励智石》一书首先使用。
表示方程的符号,世界各国很不相同,可以说五花八门。19世纪末20世纪初国际交往的扩大,终于有了比较统一的国际通用的数学符号。
中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。满清政府推行“中学为体,西学为用”的政策,在符号使用上拒绝和国家接轨。
1897年京师同文馆数学大考题中的两则考题:
详见《中学代数研究》
1859年《代微积拾级》出版算起,取代天、地、人、元的过程,前后经历了半个世纪之久。
二、数学符号语言——代数式
自学《中学代数研究》
三、字母表示数
自学《中学代数研究》
四、解析式
解析式——用运算符号、函数符号、括号,作用于数字和字母之上形成的数学式。
代数式:只含有加、减、乘、除四则运算和有理数次的乘方开方运算的解析式。
超越式:解析式中如果除了代数运算之外,还有超越运算,称之为超越式。
代数式中不含开方运算的称为有理式,否则称为无理式。
⒈整式
整式(多项式)——是一个数域,称为数域上的多项式,其中称为多项式的项,称为项的系数,变数字母所取的数值都属于数域,都是非负整数。
各个系数都等于零的多项式称为零多项式。零多项式的值总是零。
多项式的次数——对于非零多项式,中的最大的非负整数值称为这个多项式的次数。
多项式恒等——数域上的两个具有相同变数字母的多项式,如果对于变数字母的所有取值,这两个多项式的值都相等,那么称这两个多项式是恒等的。
定理:以标准形式给出的两个多项式恒等的充分且必要的条件是这两个多项式的对应项分别是具有相同系数的同类项。(待定系数法的理论依据)
例求证是一个完全平方式的充分必要条件是,并且都是非负实数。
证
⑴(必要性)如果,那么
由此可得:
因而都是非负实数,并且。
⑵(充分性)如果都是非负实数,并且,那么
⒉分式
有理分式——两个多项式的比称为有理分式,也可简称为分式。
有理分式的定义域——在已知数域内,任意一组使分式的分母不为零的自变数值,使分式有一个完全确定的值与它对应,所有这样的自变数值组的集合称为这个分式的定义域。
例化简
解
将原式各项通