文档介绍：子式和代数余子式行列开的依行依列展开
教学目的:
掌握计算行列式的能力
通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧
教学内容:
子式和余子式:
定义1 .
例1 在四阶行列式

D=
中,取定第二行和第三行,第一列和第四列,那么位于这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式
M=
定义2 n(n>1)阶行列式
D=
的某一元素余子式指的是在D中划去所在的行和列后所余下的n-1阶子式.
例子的四阶行列式的元素
=
定义 3 n阶行列式D的元素的余子式附以符号后,叫做元素的代数余子式.
元素的代数余子式用符号来表示:
=.
例1中的四阶行列式D的元素的余子式是
==-=-
现在先看一个特殊的情形,就是一个n阶行列式的某一行(列)的元素最多有一个不是零的情形。

D=
中,第I行(或第j列)的元素除a外都是零,那么这个行列式等于a与它代数余子式A的乘积:
D= aA
证我们只对行来证明这个定理。
先假定D的第一行的元素除a外都是零。这时
D=
我们要证明,
D=aA= a(-1)M= aM,
也就是说,

D= a (1)
子式M的每一项都可以写作
aa……a,
此处j,j,…,j是2,3,…n这n-1个数码的一个排列。我们看项(1)与元素a的乘积
a aa……a,
这一乘积的元素位在D的不同的行与不同的列上,因此它是D的一项。反过来,由于行列式D的每一项都含有第一列的一个元素,而第一行的元素除a外都零,因此D的每一项都可以写成(2)的形式,这就是说,D的每一项都是a与它的子式M的某一项的乘积,因此D与aM有相同的项,
乘积(2)在D的符号是
(-1)=(-1)
另一方面,乘积(2)在aM中的符号就是(1)在M中的符号。乘积(1)的元素既然位在D 的第2,3,…,n行与第j,j,…j列,因此它位在M的第1,2,…,n-1行与j-1,j-1,…,j-1列,所以(1)在M中的符号应该是(-1)。显然,л(j…j)=л((j-1)…(j-1))。这样,乘积这(2)在aM中的符号与D中的符号一致。所以
D= aM
现在我们来看一般的情形。设
D=
我们变动行列式D的行列,使a位于第一行与第一列,并且保持a的余子式不变。
为了达到这一目的,我们把D的第I行依次与第I-1,I-2,…2,1行变换,这样,一共经过了I-1次交换两行步骤,我们就把D的第I行换到第一行的位置。然后在把第j列依次与j-1,j-2,…,2,1列交换,一共经过j-1次交换两列的步骤,a就被换到第一行与第一列的位置上,这时,D 变为下面形式的行列式:
D=
是由D经过(i-1)+(j-1),交换行列式的两行或两列,
D==.
在中,位在第一行与第一列,并且第一行的其余元素都是零;由1),
D= =
因此
D====.
这样,定理得到证明.
定理行列式D等于它任意一行(列)的所有元素与它们的对应代