文档介绍：线性方程组解题方法技巧与题型归纳题型一线性方程组解的基本概念x1x2ax3 3【例题1】如果a1、a2是方程组2人3x31 的两个不同的解向量,贝Ua的取值如何2xax2 10x3 4r(A)=r(Ab)v3,解:因为a1、a2是方程组的两个不同的解向量,故方程组有无穷多解,对增广矩阵进行初等行变换:102a322a3a145a10易见仅当a=-2时,r(A)=r(Ab)=2v3,故知a=-2。【例题2】设A是秩为3的5X4矩阵,2、a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,若a1+a2+2a3=(2,0,0,0)丁,3a1+a2=(2,4,6,8)T,求方程组Ax=b的通解。解:因为r(A)=3,所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4-r(A)=1 个向量构成,又因为(a1+a2+2a3)-(3a1+a2) =2(a3-a1)=(0,-4,-6,-8)T,是Ax=0的解,由A(a1+a2+2a3)=Aa1+Aa2+2Aa3=4b知1/4(a1+a2+2a3)是Ax=b的一个解,故Ax=b的通解是T〔,0,0,02Tk0,2,3,4【例题3】已知E1=(-9,1,2,11)t,E2=(1,-5,13,0)t,E3=(-7,-9,24,2x1a2X23x3a4X4 d13x,b2x22x3b4x4 4的三个解,求此方程组的通解。9x14x2xC4X4 d3分析:求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系,判断r(A)的秩。即其基础解系可以是(0,2,3,4)T,A中第2,3两行不成比例,故r(A)>2,又因为11)T是方程组解:A是3X4矩阵,r(A)<3,由于n1=E仁E2=(-10,6,-11,11),n2=E2-E3=(8,4,-11,-11) T是Ax=0的两个线性无关的解向量,是4-r(A)>2,因此r(A)=2,所以E1+k1n1+k2n2是通解。总结:不要花时间去求方程组,太繁琐,由于E1-E2,E1-E3或E3-E1,E3-E2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系,E1,E2,E3都是特解,此类题答案不唯一。a1=(1,-2,1,0,0)T,a2=(1,-2,0,1,0)a3=(5,-6,0,0,1)题型2线性方程组求解12100x1x2x3 x4x50120103x12x2x3x43x50例题4】矩阵B的各行向量都是方程组1厶4 5 的解向00110x22x32x46x50123205x14x23x33x4x50量,问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系若不能,这4个行向量是多了还是少了若多了如何去掉,少了如何补充1111110115解:将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵A 3211301226A10122600000**********r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量B矩阵的r3=ri-r2,r4=3ri-2r2,B中线性无关的行向量只有 1,2行,故B中4个行向量不能构成基础解系,需增补a3。题型3含参数的线性方程组解的讨论参数取哪些值时使r(A)丰r(Ab),方程组无解;参数取哪些值时使r(A)=r(Ab),方程组有解,继续讨论参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)vn,方程组有无穷多解;(2)参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n,方程组有唯一解。一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组,只能