文档介绍：线性方程组解题方法技巧与题型归纳题型一线性方程组解的基本概念【例题1】如果α1、α2是方程组的两个不同的解向量,则a的取值如何?解:因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量,故方程组有无穷多解,r(A)=r(Ab)<3,对增广矩阵进行初等行变换:易见仅当a=-2时,r(A)=r(Ab)=2<3,故知a=-2。【例题2】设A是秩为3的5×4矩阵,α1、α2、α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,若α1+α2+2α3=(2,0,0,0)T,3α1+α2=(2,4,6,8)T,求方程组Ax=b的通解。解:因为r(A)=3,所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4-r(A)=1个向量构成,又因为(α1+α2+2α3)-(3α1+α2)=2(α3-α1)=(0,-4,-6,-8)T,是Ax=0的解,即其基础解系可以是(0,2,3,4)T,由A(α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4(α1+α2+2α3)是Ax=b的一个解,故Ax=b的通解是【例题3】已知ξ1=(-9,1,2,11)T,ξ2=(1,-5,13,0)T,ξ3=(-7,-9,24,11)T是方程组的三个解,求此方程组的通解。分析:求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系,判断r(A)的秩。解:A是3×4矩阵,r(A)≤3,由于A中第2,3两行不成比例,故r(A)≥2,又因为η1=ξ1-ξ2=(-10,6,-11,11)T,η2=ξ2-ξ3=(8,4,-11,-11)T是Ax=0的两个线性无关的解向量,于是4-r(A)≥2,因此r(A)=2,所以ξ1+k1η1+k2η2是通解。总结:不要花时间去求方程组,太繁琐,由于ξ1-ξ2,ξ1-ξ3或ξ3-ξ1,ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系,ξ1,ξ2,ξ3都是特解,此类题答案不唯一。题型2线性方程组求解【例题4】矩阵B的各行向量都是方程组的解向量,问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系?若不能,这4个行向量是多了还是少了?若多了如何去掉,少了如何补充?解:将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量α1=(1,-2,1,0,0)T,α2=(1,-2,0,1,0)T,α3=(5,-6,0,0,1)T,B矩阵的r3=r1-r2,r4=3r1-2r2,B中线性无关的行向量只有1,2行,故B中4个行向量不能构成基础解系,需增补α3。(A)≠r(Ab),方程组无解;(A)=r(Ab),方程组有解,继续讨论(1)参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)<n,方程组有无穷多解;(2)参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n,方程组有唯一解。一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组,只能用初等行变换求解;二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组,用下面两种方法求解:,系数行列式不等于0时有唯一解,可用克莱姆法则求之;系数行列式为0时,用初等行变换进行讨论。【例题5】设线性方程组证明:若a1,a2,a3,a4两两不相等,则线性方程组无解;(2)设a1=a3=k,a2=a4=-k(k≠0),且已知β1=(-1,1,1)T,β2=(1,1,-1)T是该方程组的两个解,写出该方程组的通