线性方程组解题归纳.ppt

文档介绍：第四章线性方程组解题方法技巧与题型归纳题型一线性方程组解的基本概念? 、α2是下面方程组的两个不同的解向量,则 a的取值如何? ??????????????410 2 132 3 321 31 321xax x xx ax xx ?解: 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量,故方程组有无穷多解, r(A)= r(Ab) <3, 对增广矩阵进行初等行变换?易见仅当 a=-2 时, r(A)= r(Ab)=2 <3, ?故知 a=-2 。?????????????????????????????????10 514 3200 53220 3 11410 2 1302 311 2aaa a a a a? 3的5×4矩阵, α 1、α 2、α 3是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解,若α 1+α 2 +2 α 3=(2,0,0, 0) T , 3 α 1+α 2=(2,4,6,8) T,求方程组 Ax=b 的通解。?解:因为 r(A)= 3 ,所以齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系由 4- r(A)= 1 个向量构成, ?又因为( α 1+α 2 +2 α 3)-(3α 1+α 2) =2 (α 3-α 1)=(0, -4, -6, -8) T , 是 Ax=0 的解,即其基础解系可以是( 0,2,3,4) T , ?由 A (α 1+α 2 +2 α 3) =A α 1 +A α 2 +2A α 3 =4b 知 1/4 (α 1+α 2 +2 α 3)是 Ax=b 的一个解,故 Ax=b 的通解是?? T Tk4,3,2,00,0,0,2 1???????? 1=( -9,1,2, 11 ) T,ξ 2=(1, - 5, 13 ,0) T,ξ 3=( -7, -9, 24 , 11 ) T是方程组的三个解,求此方程组的通解。????????????????? 344321 443221 144322149 423 32dxcxxx xbxxbx dxaxxax ?分析:求 Ax=b 的通解关键是求 Ax=0 的基础解系,判断 r(A) 的秩。?解: A是3×4矩阵, r(A) ≤3,由于 A中第 2, 3两行不成比例,故 r(A) ≥2,又因为η 1=ξ 1-ξ 2=( -10 ,6, -11 , 11 ) T, η 2=ξ 2-ξ 3 = (8,4,-11,-11) T是 Ax=0 的两个线性无关的解向量,于是 4- r(A) ≥2,因此 r(A)=2 , 所以ξ 1 +k 1η 1 +k 2η 2是通解。?总结: ?不要花时间去求方程组,太繁琐,由于ξ 1- ξ2,ξ 1-ξ3或ξ 3-ξ1,ξ 3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系, ξ1,ξ2, ξ3都是特解,此类题答案不唯一。题型 2 线性方程组求解 B 的各行向量都是方程组的解向量,问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系?若不能,这 4个行向量是多了还是少了?若多了如何去掉,少了如何补充? ????????????????????02321 01100 01021 00121??????????????????????????03345 0622 0323 0 54321 5432 54321 54321xxxxx xxxx xxxxx xxxxx ?解:将方程组的系数矩阵 A化为行最简形阵? r(A)=2,n=5, 因而一个基础解系含有 3个解向量α 1= (1, -2,1,0,0) T,α 2 =(1,-2,0,1,0) T , B α 3 =(5,-6,0,0,1) T,B矩阵的 r 3 =r 1 -r 2,r 4 =3r 1 -2r 2,B中线性无关的行向量只有 1,2行,故 B中4个行向量不能构成基础解系, 需增补α 3。 100000 00000 62210 5110113345 62210 31123 11111A A????????????????????????????????????????????????????????02321 01100 01021 00121