文档介绍：第7章向量代数与空间解析几何
向量代数
1学习指导

⑴理解向量的基本概念。
⑵熟练掌握向量的加减、数乘、数量积、向量积运算的几何意义和坐标运算,掌握混合积及其几何意义。
⑶熟练运用向量坐标来判定和表达向量之间的关系及计算等有关问题。
⑷掌握两个向量之间夹角的计算及两个向量平行或垂直的条件。
⑸掌握单位向量及方向余弦的表达式。
2重点与难点
重点向量的概念、向量的坐标、向量的线性运算、向量的数量积与向量积。
难点向量的向量积及其运算律。
3学习方法
⑴向量代数的主要内容可归类为:
①两种表示法几何表示与坐标表示。
②五类运算加减、数乘、数量积、向量积与混合积运算,其中数量积与混合积的运算结果是数量,其余的运算结果是向量。
③几个关系两向量的垂直、平行及相交关系,三向量的共面关系。
研究方法是以向量为工具,用代数方法研究几何问题,学习中应深刻理解向量的基本概念及几何意义,切实掌握用向量研究各种数形结合问题的方法和技巧。
⑵注意向量与数量是两类不同的概念,学习中切不可将数量中的一些规律随意用于向量运算,例如数量乘法只有一种而向量乘法却有多种,其结果可能是数量也可能是向量;数量乘法具有交换律和消去律,而向量的向量积具有反交换律;两数量可以比较大小而两向量却没有大小之分;数量乘法可记为,而向量中的是向量,是数量,需要严格区分不可混淆。
⑶对涉及向量的向量积和数量积的计算,一般是根据它们的定义、性质和运算规律来进行,应明确哪个结果是数量,哪个结果是向量,特别注意利用,,,,等性质简化运算,如果仅涉及向量数量积的运算,则经常使用下面两种方法:
①已知向量的模与夹角时,利用定义直接计算。
②当不能直接利用定义时,根据所给条件充分利用数量积的有关运算律间接计算。
⑷设为非零向量,研究向量间相互关系有如下方法。
如需确定//或与共线,则:
①讨论是否有.
②讨论是否满足.
③计算是否等于零向量。
如需确定,则:
①计算,看结果是否等于零。
②计算,若,则,.
如需确定共面或四点共面,则
①讨论是否有.
②计算,讨论其结果是否等于零。
⑸向量的主要应用
①求平行四边形的面积
设平行四边形以向量为邻边,则面积.
②求三角形的面积
若三角形以为邻边,则其面积;
若三角形以,,为顶点,则面积
③求平行六面体体积
设平面六面体以为棱,则其体积;
④求四面体体积
设四面体以A、B、C、D为顶点,则其体积.
⑤证明平面几何中的有关命题。
2. 解题指导

例1 已知两点,计算向量的模、方向余弦和方向角。
分析向量的模、方向余弦和方向角的计算都要用到向量的坐标表示,而由两点所确定的向量坐标就是终点坐标与起点坐标之差。
解由,得
,
,
,
.
例2 已知两非零向量与不平行,求与夹角平分线上的单位向量。
分析由向量加法的定义,与的和是以,为邻边的平行四边形的对角线,当与的模相等时,该平行四边形为菱形,其对角线就是菱形内角的角分线。由此我们可以想到在或上取一个与或的模相等的向量。
解已知与不平行,且与都是非零向量。取,则与共线,,即是与夹角平分线上的向量。设其上的单位向量为,则
.
例3 已知向量与三个坐标轴成相等的锐角,求的方向余弦。若,求.
分析向量的方向余弦就是与三个坐标轴所成夹角的余弦,且以的方向余弦为分量所得向量是与同方向的单位向量。
解由题设,那么,且,,所以.
若,则.
例4 求向量在向量上的投影。
分析由投影定理知,需要先计算.
解因为
,
所以

.

例5 已知都是单位向量,且满足,求.
分析有两种求解方法:一是利用所给条件知三个向量构成首尾相接的等边三角形,故可得出夹角;二是利用内积运算规律间接求解。
解方法1 由,且,知,故.
方法2 由,可得,即
,所以

例6 已知,,求.
分析由于向量无法求出,故不能用模的定义求模,但是向量的模可以看成该向量与自身内积的算术根,即,因此可以利用内积运算的某些规律求向量的模。
解

,
又故,
即,
解得.
又因为,所以
,
,
.
例7 证明:
⑴;
⑵.
分析这类问题一般都是利用向量叉积和点积的运算性质进行证明,注意利用,化简。
证明⑴左边
右边。
⑵左边
右边。

例8 已知,求与同时垂直的单位向量。
分析注意到向量的向量积的定义,与都垂直,因此本题是先求两向量的向量积,然后再单位化。
解由,可得
,
,
因此与同时垂直的单位向量为.
例9 设,,试在