文档介绍：第5章平面图形的几何性质
静矩和形心
静矩
任意平面图形如图5-l所示,其面积为A。y轴和z轴为图形所在平面内的任意直角坐标轴。取微面积dA,dA的坐标分别为y和z,zdA、ydA分别称为微面积对y轴、z轴的静矩。遍及整个面积A的积分
(5-1)
分别定义为平面图形对y轴和z轴的静矩。由式(5-1)可见,随着坐标轴y、z选取的不同,静矩的数值可能为正,可能为负,也可能为零。静矩的量纲是长度的三次方。
图5-1
形心
设想有一个厚度很小的均质薄板,薄板中间面的形状与图5-1的平面图形相同。显然,在yz坐标系中,上述均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标和。由静力学的力矩定理可知,薄板重心的坐标和分别是
(5-2)
式(5-2)就是确定平面图形的形心坐标的公式。
利用式(5-1)可以把式(5-2)改写成
, (5-3)
所以,把平面图形对z轴和y轴的静矩,除以图形的面积A就得到图形形心的坐标和。把式(5-3)改写为
, (5-4)
这表明,平面图形对y轴和z轴的静矩,分别等于图形面积A乘图形形心坐标和。
由式(5-3)和式(5-4)看出,若和,则和。可见,若图形对某一轴的静矩等于零,则该轴必然通过图形的形心;反之,若某一轴通过形心,则图形对该轴的静矩等于零。通过形心的轴称为形心轴。
例5-1 图5-2中抛物线的方程为。计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩和,并确定图形的形心C的坐标。
图5-2
解取平行于z轴的狭长条作为微面积dA (图5-2a),则有
图形的面积及对z轴的静矩分别为
代入式(5-3),得
取平行于y轴的狭长条作为微面积如图5-2b所示,仿照上述方法,即可求出
,
组合图形的静矩和形心
当一个平面图形是由若干个简单图形(例如矩形、圆形、三角形等) 组成时,由静矩的定义可知,图形各组成部分对某一轴的静矩的代数和,等于整个图形对同一轴的静矩,即
, (5-5)
式中,和、分别表示第个简单图形的面积及形心坐标;为组成该平面图形的简单图形的个数。
若将式(5-5)代入式(5-3),则得组合图形形心坐标的计算公式
, (5-6)
例5-2 试确定图5-3所示平面图形的形心C的位置。
图 5-3 图 5-4
解将图形分为Ⅰ、Ⅱ两个矩形,如图取坐标系。两个矩形的形心坐标及面积分别为
矩形Ⅰ
矩形Ⅱ
应用式(5-6),得形心C的坐标为

形心C的位置,如图5-3所示。
例5-3 某单臂液压机机架的横截面尺寸如图5-4所示,试确定截面形心的位置。
解截面有一个垂直对称轴,其形心必然在这一对称抽上,因而只需确定形心在对称轴上的位置。把截面图形看成是由矩形ABED减去矩形abcd,并以ABED的面积为,abcd的面积为。以底边EC作为参考坐标轴y。
由式(5-6),整个截面图形的形心C的坐标为
惯性矩惯性积惯性半径
惯性矩、惯性半径
任意平面图形如图5-5所示,其面积为A,y轴和z轴为图形所在平面内的一对任意直角坐标轴。在坐标为(y,z)处取一微面积dA,z2dA和y2dA分别称为微面积dA对y轴和z轴的惯性矩,而遍及整个平面图形面积A的积分
(5-7)
分别定义为平面图形对y轴和z轴的惯性矩。
图5-5
在式(5-7)中,由于y2、z2总是正值,所以、也恒为正值。惯性矩的量纲是长度的四次方。
工程上,为方便起见,经常把惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积,即

或改写为
,
式中,,分别称为图形对y轴和z轴的惯性半径,其量纲为长度。
如图5-5所示,微面积dA到坐标原点的距离为,定义
(5-10)
为平面图形对坐标原点的极惯性矩。其量纲仍为长度的四次方。由图5-5可以看出
(5-11)
所以,图形对于任意一对互相垂直轴的惯性矩之和,等于它对该两轴交点的极惯性矩。
惯性积
在图5-5所示的平面图形中,定义yzdA为微面积dA对y轴和z轴的惯性积。而积分式
(5-12)
定义为图形对y、z轴的惯性积。惯性积的量纲为长度的四次方。
由于坐标乘积职y、z可能为正或负,因此,的数值可能为正,可能为负,也可能等于零。
若坐标轴y或z中有一个是图形的对称袖,例如图5-6中的z轴。这时,如在z袖两侧的对称位置处,各取一微面积dA,显然,两者的z坐标相同,y坐标则数值相等而符号相反。因而两个微面积的惯性积数值相等,而符号相反,它们在积分中相互抵消,最后导致
所以,两个坐标轴中只要有一个轴为图形的对称轴,则图形对这一对坐标轴的惯性积等于零。
图 5-6
例5-4 试计算矩形对其对称轴y和z(图5-7)的惯