文档介绍：线性代数练习册
复习题和自测题解答
第一章复习题
三、求解下列各题:
1、计算
解:原式=

2、解方程
解:计算左边的行列式,按第一列展开得:
3、确定a的值,使得方程组有非零解
解:方程组有非零解,即系数行列式为零,
解得
4、计算
解:此行列式不是范德蒙得行列式,构造行列式如下:
(1)
而,
∴
四、证明下列各题:
1、证明:
证明:1)当时,将按第一列展开得:,由数学归纳法证明。
2)当时,将按第一列展开得:,由数学归纳法证明。
2、若n阶行列式中元素满足,则称该行列式为反行列式。试证明:奇数阶反对称行列式的值为零。
证明:设A为反对称行列式,
∴
若n为奇数,则
五、为何值时,其次方程组有非零解
解:方程组有非零解,即系数行列式为零,
,∴
六、求解线性方程组
解:利用克拉默法则,注意系数行列式即为第四大题第一小题的形式。
第一章自测题A
二、计算题
1、
解:原式
2、
解:原式
= (此行列式为范德蒙得行列式)
三、已知,求x的值
解:化简左边的行列式得:
∴(提示:将所有行加到第一行)
四、计算
解:

五、讨论当λ为何值时,方程组有唯一零解?有非零解?
解:

第一章自测题B
三、计算题:
1、求
解:分子
分母
原式=
2、设α、β、γ是三次方程的根,求行列式的值
解:由题设,三次方程可以写作,
其中,比较
3、计算的值
解:

四、证明下列恒等式:
1、
证明:利用数学归纳法,注意
2、
证明:,

3、
解:利用加边法

第二章复习题
二、计算
1、设A为n阶方阵,满足
解:
,
2、已知实矩阵满足:1),2),计算
解:由(1)可知,
又
3、设A为三阶方阵,为A的伴随矩阵,A的行列式
解:
4、设,求A
解:
记,再计算。
5、设矩阵A的伴随矩阵,求B
解:由

又(利用分块阵求行列式的值)
, .
,代入(*)式中即得.
(利用分块矩阵求逆的方法)
三、证明
1、设方阵A满足,证明A可逆,并求A的逆矩阵
证明:由,得
,即可逆并且.
2、证明:若,但A不是单位矩阵,则A必为奇异矩阵
证明:假设为非奇异阵,,与题设矛盾
故必为奇异阵.