文档介绍：《近世代数》作业参考答案
:一个集合到集合D的映射叫做一个到D 的代数运算。
:一个非空集合G 对乘法运算作成一个群,只要满足:
1)G对乘法运算封闭;
2)结合律成立: 对G中任意三个元都成立。
3)对于G的任意两个元来说,方程和都在G中有解。
:一个交换除环叫做一个子域。
:若在集合A到集合的映射下,的每一个元至少是A中的某一个元的象,则称为A到的满射。
:设G为非空集合,G有代数运算叫乘法,若:(1)G对乘法封闭;
(2)结合律成立; (3)单位元存在; (4)G中任一元在G中都有逆元,则称G对乘法作成群。
:环R的一个非空子集N叫做一个理想子环,简称理想,假若:
(1) (2)
:一个集合A到的映射, ,,叫做一个A到的单射。
若:。
换:一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。
环:一个环R若满足:(1)R至少包含一个不等于零的元。
(2)R有单位元。
(3)R的每一个非零元有一个逆元,则称R为除环。
:既是满射又是单射的映射,叫做一一映射。
:一个群G的一个子群H的右陪集(或左陪集)的个数,叫做群H在G里的指数。
:设R是一个环,,若对任意的,都有,则称e是R的单位元。
1.×; 2.×;3. √;4.×;5.√;6.√;7.√; 8,√;9.√;10.√;11.×;12.√
证:G显然非空,又任取A,B,则,于是AB是整数方阵,且,
故,即G对乘法封闭。结合律显然成立,且E是G单位元。
又设,由于A是整数方阵,故A的伴随矩阵也是整数方阵;
又故,即也是整数方阵,即G 中每一个元在G中都有逆元,从而证得G 作
成一个群。
:设,则当时,,于是映射:就是G=(a)到整数加群Z的一个一一映射。又
,故是G到Z的同构映射。即G=(a)与整数加群Z同构。
:显然是Z[i]的单位,设x=a+bi是Z[i]中的任意单位,则存在y=c+di使xy=(a+bi)(c+di)=1 而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有:ac-bd=1,ad+bc=0 (1)
从而又ad= –bc 代入前式有:(,即|a
若a=0,则由(1)有bd= –1,只有b=,即。
若,则由|a得b=0, a=,即x=,因此证得:Z[i] 的单位元只有。
:由题设可列乘法表:
a b c d
a a b c d
b b a d c
c c d a b
d d c b a
由此表可知:方阵普通乘法是G的代表运算,a 是G的单位元,又由于对角线位置上的元素相等,故乘法可以交换,且每个元素G中都有逆元,结合率显然成立。故G对方阵普通乘法作成一个交换群。
:设e是群G 的单位元,则e显然满足方程另外设且,则有即a=e, 即只有e满足方程。
:因为为素数,则(以及)是Z[i]的不可约元,且显然有分解: 若设不可约) 则
且,这只有,且不妨设
5=ab且则只能,即5=,即5有唯一分解。
:由乘法表可知,G对所给乘法封闭,e 是单位元,又,,,即每个元素在G中都有逆元,因此要证G