文档介绍：近世代数简介
群(group): 一个集合,一种运算
满足 G1:封闭性
G2:结合性
G3:单位元存在
G4:逆元存在
交换群
G5:交换性
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加群一定是交换群,加群一定含零元素
乘群不一定是交换群,乘群一定不含零元素
包含无数个元素的群称为无限群。
包含有限个元素的群称为有限群,有限群元素的个数称为该群的阶。
群(G,*)中,集合G的非空子集S在同样的运算*下可构成群(S,*),称群(S,*)为群(G,*)的子群(Subgroup)。
(S, *) 为(G , *) 子群的充要条件是:对于任何a、b S, 必有a * b-1 S 。充要条件的这种表述形式,强调了子群元素逆元的存在性以及子群的封闭性。
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拉格朗日定理(Lagranges):
有限群(G,*)的子群(S,*)的阶数一定是群(G,*)阶数的因子。
若(A, * ),(B, * )分别是群(G, * )的两个子群, 则A、B的交集在同样运算下也构成(G, * )的子群(A∩B,*)。
某一元素a(称作生成元a)的一切乘幂a0, a1, a2,…的全体组成一个群,称为循环群,写作G ={ a0, a1, a2, …},其中a0= e是单位元。
若序列a0= e,a1, a2, …中没有两个元素是相等的,称之为无限循环群。
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若上述序列中有两个相等的元素a i= a j, (ij),可推出G 的元素必以n为周期重复,即an = a0=e , 这样的循环群称为有限循环群。
循环群也叫幂群,具有以下性质:循环群是交换群;循环群的子群仍是循环群;n阶循环群子群的阶数一定是n的因子。
:令R、I、E分别是有理数、整数、偶数集合,则(E,+)是(I,+)的子群,则(I,+)是(R,+)的子群,单位元均是0。奇数集合O在加法运算下构不成群,因不满足封闭性条件
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集合G = {0,1,2 … m-1}在模m加(用符号表示)运算下构成一个群(G,)。
该加群是m阶有限群,单位元是0。元素0的逆元是0,1的逆元是m-1, 2的逆元是m-2,…。
:集合G = {1,2 … q-1}在模q乘(q是素数)运算下构成一个乘群(G,)。
为什么有限加群对模数m无要求,而有限乘群要求模数q必须为素数?
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如果模为合数,其因子一定能整除它,不会产生一个余数1(单位元),因此逆元不存在。
比如,{1,2,3}mod4 中的2,
{1,2,3,4,5,6,7,8} mod9 中的3
如果a的逆元是b,必有关系式
ab = nq+1
这样才会有
( ab ) mod q =1
四进制乘群不存在? !!!
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环(Ring)
一个集合,二种运算
加法成“群”乘法不成“群”
G1:封闭性 G1:封闭性
G2:结合性 G2:结合性
G3:单位元存在 G3:单位元存在
G4:逆元存在?
分配性
交换环
乘法交换率
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由于环并不涉及乘法逆元的是否存在,因此模m不是素数也能构成有限环。但这是零因子环,乘法消除律不成立。
若 a是m的因子,a b= 0 ,而a0,b 0
称a、b为零因子。
有零因子时,乘法消除率不能成立,即从a b = a c (mod m)不能推得b = c (mod m) ,因为当 c =0时,前式成立而后式并不成立。带来的后果是,方程a x = 0无唯一解,因为
x =0和x =b都是解。
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有限环(Ring)
一个有限集合,模m加,模m乘
一般m 可能是零因子环
素数q 整环
子环( subring )
理想子环(强收敛性)
主理想(所有元素是一个元素幂的线性组合)
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若集合S是集合R的子集(S R),
判断(S ,+, · )是(R ,+, ·) 子环的充要条件是
1. a、b S, a-b S。
2. a、b S, a b S。
上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭性,条件2强调了乘法封闭性。
理想子环的充要条件是:
若R是交换环,I是R的非空子集,如满足
1. a、b I, a-b I。
2. a I、r R, a r = r a I,
则I是R的理想子环,简称理想
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各次幂或各次幂的线性组合生成,则称该理想子环主理想子环,简称主理想
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