近世代数.doc

文档介绍：第3篇近世代数
第八章代数系统
注意:为了广泛起见,定义中的满同态亦可只要求同态。定义2-,2-,2-,3-,4-,4-。只是有关定理的条件需作相应的改变。
例1- 对代数系统<I,+,×>和<Nm,+m,×m>,因从I到Nm有映射f: i→i(mod m),且对I中任意元素i1和i2,f(i1+i2)=(i1+i2)(mod m)=i1(mod m)+mi2(mod m)=f(i1)+mf(i2),f(i1×i2)=(i1×i2)(mod m)=i1(mod m)×mi2(mod m)=f(i1)×mf(i2)。
故f是同态,从而<I,+,×>~<Nm,+m,×m>。
例1- 设集合
而+和·分别为矩阵的加法和乘法,则<W,+,·>是代数系统。
对代数系统U=<W,+,·>和V=<C,+,×>,W到C的映射
是U到V的同构,故<W,+,·> <C,+,×>。
例1- 设A是全集E的任一非空真子集,则集合{Æ,A, ~A,E}Å对二元运算∪和∩及一元运算~,有运算表1-。
表1-
再在集合{1,2,5,10}中规定二元运算⊕和Ä及一元运算:
其中[x,y]和(x,y)分别表示x,y的最小公倍数和最大公因数。即有
表1-
这样,对代数系统U=<{Æ,A,~A,E},∪,∩,~>和V=<{1,2,5,10},Å,Ä,->,{Æ,A,~A,E}到{1,2,5,10}的映射
ÆÕ1
AÕ2
f: ~AÕ5
EÕ10
是双射,且因上述相应的运算表本质一致,即对所有运算能保持映射,故f是U到V的同构,因而******@V。
很明显,所有代数系统构成的集合中的同构关系是一个等价关系。
定理1-=<X,*>~V=<Y, >,f是满同态。
若U可交换,则V也可交换。
若U可结合,则V也可结合。
若U有等幂元a,则V有等幂元f(a)。
若U有零元o,则V有零元f(o)。
若U有幺元e,则V有幺元f(e)。
若U中元素x有逆元x-1,则V中元素f(x)有逆元f(x-1),即(f(x))-1=f(x-1)。
这个定理请读者自行证之。其中3)实际上只要求f是个同态即可。
1-3 代数系统的同余关系与商代数
本节主要阐明同态与同余关系之间的联系,并通过同余关系诱导出一个新的,称为商代数的代数系统。
定义1-=<X,*,+,△,…,□>是代数系统,若X中的等价关系E还对X中任意元素x1,x2,y1和y2,这里x1Ex2,y1Ey2关于所有运算能“保持关系”:
(x1*y1)E(x2*y2)
(x1+y1)E(x2+y2)
(x1)E△(x2)
…………………
则称E为U中的同余关系,E的等价类此时就称为同余类。
例1-={<a,b>|a,bÎ I,b≠0},若在X中规定二元运算+和×:
<a,b>+<c,d>=<ad+bc,bd>
<a,b>×<c,d>=<ac,bd>
则U=<X,+,×>是代数系统。
在X中定义关系R:
<a,b>R<c,d> ad=bc
则易知R是等价关系。
若X中元素<a1,b1>R<a2,b2>,<