文档介绍：高考数学总复习:解析几何
一、圆锥曲线的几类基本习题
一. 弦的中点问题
具有斜率的弦中点问题,一般设曲线上两点为,,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。
例1 给定双曲线。过A(2,1)的直线与双曲线交于两点及,求线段的中点P的轨迹方程。
分析:设,代入方程得,。
两式相减得
。
又设中点P(x,y),将,代入,当时得
。
又,
代入得。
当弦斜率不存在时,其中点P(2,0)的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是。
例2 已知椭圆,通过点(1,1)引一弦,使它在这点被平分,求此弦所在的直线方程。
略解:有,代入得
0,得。
从而直线方程是。
此题将椭圆变为双曲线、抛物线都是同一方法。
二. 焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点、构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。
例3 设P(x,y)为椭圆上任一点,,为焦点,,。
(1)求证离心率;
(2)求的值;
(3)求的最值。
分析:(1)设,,由正弦定理得。
得,
。
(2),采用合分比定理得
,
。
(3)。
当时,最小值是;
当时,最大值是。
三. 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题,分三步:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。
例4 已知椭圆C的方程,试确定m的取值范围,使得对于直线,椭圆C上有不同两点关于直线对称。
分析:椭圆上两点,,代入方程,相减得
。
又,,,代入得。
又由解得交点。
交点在椭圆内,则有
。
得。
例5 为了使抛物线上存在两点关于直线对称,求m的取值范围。
略解:两点所在直线与联立求出交点,代入抛物线内,有,解得。
四. 两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用来处理。
例6 已知直线的斜率为,且过点,抛物线,直线与抛物线C有两个不同的交点(如图)。
(1)求的取值范围;
(2)直线的倾斜角为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。
分析:(1)直线代入抛物线方程得,
由,得。
(2)由上面方程得,
,焦点为。
由,得,或
。
例7 经过坐标原点的直线与椭圆相交于A、B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F,求直线的倾斜角。
分析:左焦点F(1,0), 直线y=kx代入椭圆得,
,
。
由AF知。将上述三式代入得,或。
二、直线与圆锥曲线位置关系以及圆锥曲线的有关最值问题
基本知识点:
(1)求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法。
(2)注意韦达定理的应用。
弦长公式:斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB,若A、B两点的坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2)则
(3)注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。
(4)有关中点弦问题
<1>已知直线与圆锥曲线方程,求弦的中点及与中点有关的问题,常用韦达定理。
<2>有关弦的中点轨迹,中点弦所在直线方程,中点坐标问题,有时采用“差分法”可简化运算。
(5)有关圆锥曲线的对称问题
这两个关键条件,同时要记住一些特殊的对称关系,如关于坐标轴对称,关于点对称,关于直线y=±x+b对称。
(6)圆锥曲线中的有关最值问题,常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。
【例题选讲】
例1. 已知抛物线y2=2px(p>0)。过动点M(a,0)且斜率为l的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B
(2)若线段AB的垂直平分线交AB于Q,交x轴于点N,试求三角形MNQ的面积。
解:
(2)设Q(x3,y3)由中点坐标公式得
又三角形MNQ为等腰直角三角形
例2. 线过C、D、E三点,且以A、B为焦点,求双曲线的离心率。(2000年,全分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy,则CD⊥y轴,因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。
h是梯形的高。
由定比分点坐标公式,得点E的坐标为
由点C、E在双曲线上,得
小结:此题涉及解